質問<2176>2005/1/25
点(-1,a)を通り曲線y=x^3-4xに接する直線が3本引けるような aの値の範囲を求めよ ★希望★完全解答★
お便り2005/1/29
from=KINO
まず,f(x)=x^3-4x とおいておきましょう。 曲線上の点を P(p,f(p)) とおきます。 P で接する接線の方程式は y=f'(p)(x-p)+f(p) で与えられるから,f'(x)=3x^2-4 より, y=(3p^2-4)(x-p)+p^3-4p=(3p^2-4)x-2p^3. これが (-1,a) を通るためには,p は (-1,a) を代入した式 a=-(3p^2-4)-2p^3=-2p^3-3p^2+4 をみたさなければなりません。 よって,点(-1,a)を通り曲線y=x^3-4xに接する直線が3本引けるためには, この方程式をみたす3つの異なる実数解がなければならないことになります。 もうすでに x, y という文字は使われてしまっているので, 代わりに p, q という文字で話を進めます。 考えるべき方程式は, a=-2p^3-3p^2+4 ですが,pq 平面(p が横軸,q が縦軸)上の直線 q=a と曲線 q=-2p^3-3p^2+4 が3つの交点を持つような a の範囲を求めればよいことになります。 q=-2p^3-3p^2+4 のグラフの概形はここでは描けませんが,グラフを考えると 3次関数 g(p)=-2p^3-3p^2+4 の極小値と極大値の間に a があれば, 交点は3つあることがわかります。 ということで,g'(p)=-6p^2-6p=-6p(p+1) より,g'(p)=0 の解は p=-1, 0. g(-1)=3 (極小値), g(0)=4 (極大値) なので,3<a<4 が求める範囲です。