質問＜２１７６＞２００５／１／２５
from=んち
「微分」

点(-1,a)を通り曲線y=x^3-4xに接する直線が3本引けるような
aの値の範囲を求めよ

★希望★完全解答★

お便り２００５／１／２９
from=KINO

まず，f(x)=x^3-4x とおいておきましょう。
曲線上の点を P(p,f(p)) とおきます。
P で接する接線の方程式は
   y=f'(p)(x-p)+f(p)
で与えられるから，f'(x)=3x^2-4 より，
   y=(3p^2-4)(x-p)+p^3-4p=(3p^2-4)x-2p^3.
これが (-1,a) を通るためには，p は (-1,a) を代入した式
   a=-(3p^2-4)-2p^3=-2p^3-3p^2+4
をみたさなければなりません。
よって，点(-1,a)を通り曲線y=x^3-4xに接する直線が3本引けるためには，
この方程式をみたす3つの異なる実数解がなければならないことになります。

もうすでに x, y という文字は使われてしまっているので，
代わりに p, q という文字で話を進めます。

考えるべき方程式は，
   a=-2p^3-3p^2+4
ですが，pq 平面（p が横軸，q が縦軸）上の直線 q=a と曲線 q=-2p^3-3p^2+4 
が3つの交点を持つような a の範囲を求めればよいことになります。
q=-2p^3-3p^2+4 のグラフの概形はここでは描けませんが，グラフを考えると
3次関数 g(p)=-2p^3-3p^2+4 の極小値と極大値の間に a があれば，
交点は3つあることがわかります。
ということで，g'(p)=-6p^2-6p=-6p(p+1) より，g'(p)=0 の解は p=-1, 0.
g(-1)=3 (極小値), g(0)=4 (極大値) なので，3＜a＜4 が求める範囲です。