質問<2179>2005/1/28
三角柱を斜めに切ったときに出来る五面体ABCDEFの体積を求めたいのですが、 どうしたら良いでしょうか? 分かっているのは、ABCDEFの各座標です。 なるべく簡単な解法(出来たら公式のような)で、よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2005/2/6
from=naoya
ベクトルの計算の中身は座標の成分で置き換えられるので,ベクトルで考える. 三角柱ABC-D'E'F'を△ABCを底面として切ったときの五面体をABCDEFとするものとする. 三次元空間のベクトルで,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,OF=fとする. 矢印はないけどベクトルです. 三角柱の切断による図形だから, 平面ABC⊥AD,BE,CF である(はず). この五面体の体積は,底面△ABCで,高さがAD,BE,CFの平均である三角柱と等しい. (証明略) 底面積をS,仮想の高さをhとすると, S=△ABC=√[(|b-a||c-a|)^2-{(b-a)・(c-a)}^2]/2. h=(|d-a|+|e-b|+|f-c|)/3. よって五面体の体積Vは, V=Sh.