質問＜２１７９＞２００５／１／２８
from=さくら
「立体の体積」

三角柱を斜めに切ったときに出来る五面体ABCDEFの体積を求めたいのですが、
どうしたら良いでしょうか？
分かっているのは、ABCDEFの各座標です。
なるべく簡単な解法（出来たら公式のような）で、よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／２／６
from=naoya

ベクトルの計算の中身は座標の成分で置き換えられるので,ベクトルで考える.
三角柱ABC-D'E'F'を△ABCを底面として切ったときの五面体をABCDEFとするものとする.
三次元空間のベクトルで,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,OF=fとする.
矢印はないけどベクトルです.
三角柱の切断による図形だから, 平面ABC⊥AD,BE,CF である（はず）.
この五面体の体積は,底面△ABCで,高さがAD,BE,CFの平均である三角柱と等しい.
（証明略）
底面積をS,仮想の高さをhとすると,
S=△ABC=√[(|b-a||c-a|)^2-{(b-a)･(c-a)}^2]/2.
h=(|d-a|+|e-b|+|f-c|)/3.
よって五面体の体積Vは, V=Sh.