質問＜２１８０＞２００５／１／２９
from=もんた
「メルカトールの級数の証明」

メルカトールの級数とライプニッツの級数についての証明法が
いくつかあるらしいのですが、
証明法がわからないので教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００５／２／１６
from=自助努力

「メルカトルの級数」という名前は初めて聞いた…。
\log{1 + x} = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - … - (-1)^n (x^n)/n - …
(-1 ＜ x ≦ 1) というやつですか。Taylor の定理から示されます。

ライプニッツの級数というのは、
\pi / 4 = 1 - 1 / 3 + 1 / 5 - … + (-1)^n / (2n + 1) + …
というやつですね。
(Arctan x)' = 1 / (1 + x^2)
 = \sum_0^n (-x^2)^n + ((-1)^{n+1} x^{2n+2}) / (1 + x^2)
を 0 から 1 まで積分して、誤差項を評価してください。□