質問<2181>2005/1/29
学校の宿題なんですが、 “√3が無理数であることを用いて、√12が無理数であることを証明せよ” という問題がよく分かりません・・・ 1+√3が無理数であることを証明するのはなんとか分かったのですが・・・ 教えていただけないでしょうか???(><) ★希望★完全解答★
お便り2005/1/31
from=UnderBird
√12=2√3で、無理数×整数は直感的に無理数ですね。 (だって、無理数とは循環しない無限小数だから、例えば2倍したって 循環しない無限小数になるでしょ) でも、証明だから背理法を用いて見ましょう。 結論を否定するので、2√3を有理数と仮定する。 よって、2√3=P/Q(P、Qは互いに素である整数)とおける。 両辺2で割ると、√3=P/(2Q) ここで、右辺は有理数(整数÷整数だから)、 左辺は仮定より無理数であるから矛盾。 よって、2√3=√12は無理数