質問＜２１８３＞２００５／２／１
from=チキン
「正弦定理」

この問題が解けないで困ってます。わかる人がいたら教えてください。
0°≦θ≦180°とする。
4ｃｏｓθ＋2ｓｉｎθ＝√2のとき、ｔａｎθの値を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／２／２
from=UnderBird

ｃｏｓθ＝ｘ,ｓｉｎθ＝ｙとおくと、
(ｃｏｓθ)^2＋(ｓｉｎθ)^2＝１とあわせて、
４ｘ＋２ｙ＝√２　･･･①
ｘ^2＋ｙ^2＝１　　･･･②
これをといて、
（ｘ、ｙ）＝（（√2)/2,（－√2)/2），
　　　　　　（（－√2)/10，（7√2)/10）
ここで、0°≦θ≦180°よりｓｉｎθ≧0だから、
1つ目の解は不適。
よって、ｔａｎθ＝ｓｉｎθ/ｃｏｓθ＝－７

お便り２００５／２／２
from=KINO

もしも cosθ=0 だとすると 0°≦θ≦180°より
θ＝90°。
このとき sinθ＝sin 90°＝1 で，
与えられた等式をみたさないので不適。
つまり cosθ≠0 である。
cosθで等式の両辺を割ると
4＋2tanθ＝√2/cosθ。
これより 1/cosθ=2√2+√2tanθ。
θ(≠90°)の値によらずに成り立つ等式
1+tan^2θ=1/cos^2θ に代入すると
1+tan^2θ＝8+8tanθ+2tan^2θ。
よって tan^2θ+8tanθ+7=0。
因数分解できて (tanθ+1)(tanθ+7)=0。
よってtanθ=-1 または -7。
途中で式を2乗したために2次方程式になり，
解が2つ出てきてしまったので，
これらふたつともが答えなのかどうかを
検証する必要がある。
まず，0°≦θ≦180°のとき sinθ≧0 であるから
tanθ=sinθ/cosθ より tanθ と cosθ の正負の
符号が一致することに注意する。
tanθ=-1 のとき，1+tan^2θ=1/cos^2θ より
cosθ=±1/√2。
tanθ＜0 より cosθ＜0 でなければならないので，
cosθ=-1/√2。
このとき sinθ=√(1-cos^2θ)=1/√2 で，
4cosθ＋2sinθ＝-√2 となって等式を
みたさないため不適。
tanθ=-7 のとき，1+tan^2θ=1/cos^2θ より
cosθ=±1/5√2。
やはり tanθ＜0 より cosθ=-1/5√2。
このとき sinθ=√(1-cos^2θ)=√(49/50)=7/5√2
となり，確かに与えられた等式をみたす。
よって答えは tanθ＝-7。