質問＜２１８９＞２００５／２／３
from=んち
「微分」

すべての実数xに対して
x^4-4a^3x+12＞0が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ

★希望★完全解答★

お便り２００５／２／５
from=風あざみ

f(x)=x^4-4a^3x+12の最小値＞0となればよい。

f'(x)=4x^3-4a^3=4(x-a)(x^2+xa+a^2) 
x^2+xa+a^2=(x+a/2)^2+3a^2/4≧0だから

f(x)の増減表は

x　　　　　　a
f'(x)　　- 　0   +
f(x)   減少　　　増加

となるため、f(x)はx=aで最小値をとる。

f(a)=12-3a^4＞0
これを解くと、-√2＜a＜√2

よって求める条件は、-√2＜a＜√2となる。