質問<2202>2005/2/15
先日はありがとうございました。 もう一問ありましたので、よろしくお願いします。 x>1のときx+1/(xー1)の最小を求めよ。 数学苦手なので、助かります。 ★希望★完全解答★
お便り2005/2/16
from=wakky
お便り2005/2/17
from=KINO
(相加平均)≧(相乗平均)の不等式のちょっとした応用問題です。 y=x-1 とおくと x>1 より y>0 で, x+1/(x-1)=1+y+1/y となり,y>0,1/y>0 より相加平均と相乗平均の関係式が使えて y+1/y≧2√(y×1/y)=2。 等号は y=1/y のとき成立。これは y^2=1 と同じことですが, y>0 より y=1 です。このとき x=2 です。 まとめると,x>1 ならば必ず x+1/(x-1)≧1+2=3 という不等式が成り立ち,等号は x=2 のとき成り立つので, 最小値は 3(x=2 のとき)。これが答えです。
お便り2005/2/18
from=あつし
x+1/(x-1)=1+(x-1)+1/(x-1) ここでx>1よりx-1>0,1/x-1>0 よって相加・相乗平均の関係より (x-1)+1/(x-1)>=2√(x-1)/(x-1)=2 よってx+1/x-1>=3となり 最小値は3 このときのxはx-1=1/(x-1)とx>1よりx=1
お便り2005/2/18
from=UnderBird
前回質問された問題が相加相乗平均を利用したものだったので、 今回も相加相乗平均を用いる解法も参考になると思い投稿します。 x>1より、x-1>0、1/(x-1)>0 そこで、与式=(x-1)+1/(x-1)+1と考える。 第1項目と2項目について相加相乗平均の関係から、 (x-1)+1/(x-1)≧2√{(x-1)×1/(x-1)}より (x-1)+1/(x-1)≧2 等号成立は、x-1=1/(x-1)より、x=2 よって、 x+1/(x-1)≧3 (等号はx=2の時)となり、最小値は3となります。