質問＜２２１１＞２００５／２／２２
from=ヒルトン
「極限値」

ｘ→０のときｘｃｏｓ１／ｘ＝０になるわけをくわしく教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００５／２／２４
from=wakky

まず、感覚的なところから
ｃｏｓ（１／ｘ）は、ｘがどんな値をとろうとも
－１≦ｃｏｓ（１／ｘ）≦１　ですね。
この範囲から飛び出ることは決してありません。
だから
ｘｃｏｓ（１／ｘ）は
ｘ→０のとき、０に近づいていく訳です。
証明や答案となると、これではまずいですね。
参考書には必ずと言っていいほど、この手の問題はあると思います。
ｘｓｉｎ（１／ｘ）も同じように考えることができます。
「はさみうち」の原理を利用します。
－１≦ｃｏｓ（１／ｘ）≦１より
０≦｜ｃｏｓ（１／ｘ）｜≦１
よって
０≦｜ｘｃｏｓ（１／ｘ）｜≦｜ｘ｜
ｘ→０のとき｜ｘ｜→０だから
｜ｘｃｏｓ（１／ｘ）｜→０
すなわち
ｘｃｏｓ（１／ｘ）→０

お便り２００５／２／２４
from=KINO

実数 y の値がなんであれ，必ず |cos y|≦1 です。
よって，0 でない実数 x に対し，|cos(1/x)|≦1 です。
したがって 0≦|x cos(1/x)|≦|x| となり，
x→0 のとき |x|→0．はさみうちの原理より，
0 と |x| の間にある |x cos(1/x)| も 0 に収束することがわかります。