質問＜２２４９＞２００５／３／２５
from=きの
「極限値」

limx→±∞（１＋１／ｘ）＾ｘ＝e
は用いてよいとして、
①limx→±∞（ｘ／ｘ－１）＾２ｘ
②limx→±∞（２ｘ－１／２ｘ＋１）＾３ｘ
を求めよ。
はじめましてです。どなたか教えてくれませんか？

★希望★完全解答★

お便り２００５／３／２６
from=wakky

お便り２００５／３／２６
from=KINO

まず，実数 a(≠0) に対し，
y=ax とおけば，x→±∞ ならば y→±∞
（符号の対応は，a>0 のとき同順，a<0 のとき逆）
なので，
lim_(x→±∞)(1+1/(ax))^(ax)=lim_(y→±∞)(1+1/y)^y=e
が成り立つことをしっかり理解して下さい。

(1) x/(x-1) （こう書くと「x 割る x-1」の意味になります）の分子分母を x で割ると，
x/(x-1)=1/(1-1/x) ですので，
{x/(x-1)}^(2x)=(1-1/x)^(-2x)={(1-1/x)^(-x)}^2
となります。あとは上に書いたことの中で a=-1 とすれば
(1-1/x)^(-x) の極限値が求まりますので，答えがわかると思います。

(2) 式の解釈が間違っているかもしれませんが，
{(2x-1)/(2x+1)}^(3x)，すなわち
「2x-1 を 2x+1 で割った式の 3x 乗」
の極限を求める問題として解法の方針を述べます。
間違っていたらごめんなさい。
分子分母を 2x で割って
(2x-1)/(2x+1)=(1-1/(2x))/(1+1/(2x))
=(1-1/(2x))(1+1/(2x))^(-1)
なので，
{(2x-1)/(2x+1)}^(3x)=(1-1/(2x))^(3x)(1+1/(2x))^(-3x).
ここで 1-1/(2x) の指数を 3x=(-2x)(-3/2)，
1+1/(2x) の指数を -3x=(2x)(-3/2) と無理やり変形し，y=2x とおくと，
{(2x-1)/(2x+1)}^(3x)={(1-1/y)^(-y)(1+1/y)^(y)}^(-3/2)
となります。あとは (1) と同じようにして極限を求めれば答えを得ます。

問題の解釈がこれでよければ，
(1) は e^2, (2) は 1/e^3(=e^(-3)) となるかと思います。