質問<2256>2005/3/29
f(x)がxの整数で、任意の実数xに対して 関係式f(2x)=2xf`(x)を満たす時、f(x)を求めよ。 任意の実数というのもよく分からないので、 説明して頂けたら嬉しいです。 ★希望★完全解答★
お便り2005/4/3
from=下野哲史
「任意の実数xに対して成り立つ」とは 「どんな実数xに対しても成り立つ」ということ。 等式においてこれが言えるのは恒等式、つまり左辺と右辺が全く同じ式である ときということになります。 「xの整数」は「xの整式」という間違いであると仮定して(笑) f(x) の最高次数を n とおくと f(x)=ax^n+… f'(x)=nax^(n-1)+… f(2x)=2xf`(x)より 2^n×ax^n + …=2nax^n +… となるから、これが恒等式であるためには 2^n×a=2na 両辺を a で割って 2^n=2n …♪ y=2^x と y=2x のグラフを考えれば、 2つは x=1 で接するため この方程式♪を満たす n は n=1 のみである。 よって、f(x) は1次式であるから f(x)=ax+b とおく。 f(2x)=2xf`(x)より 2ax+b=2ax よって、b=0 答え f(x)=ax こんな感じでしょうか? 解答者が混乱するので問題は間違えない方がいいですよ。