質問

x+2y=6,x≧0,y≧0のとき、
x３乗+2y３乗の最小値およびそのときのx,yの値を求めよ。
わからないので教えて頂けたら嬉しいです。。。

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／２
from=KINO

この問題は一文字だけの最大最小問題に変換できます。

xの３乗を x^3 のように書くことにします。
また1割る2のような分数を 1/2 と書きます。

y≧0, x+2y=6 という条件から 0≦2y=6-x. 
これより x≦6.
x≧0 と合わせて 0≦x≦6. この範囲で，x の関数
f(x)=x^3+2y^3=x^3+2(3-x/2)^3
=(3/4)x^3+(9/2)x^2-27x+54
の最小値を求めることにします。
それには微分して関数の増減を調べればよいです。
f'(x)=(9/4)x^2+9x-27=(9/4)(x^2+4x-12)
=(9/4)(x-2)(x+6)
で，0≦x＜2 で f'(x)＜0 より f(x) は単調減少，
2＜x では f'(x)＞0 より f(x) は単調増加とわかります。
よって x=2 で f(x) は極小かつ最小です。
このとき y=2 なので，2^3+2*2^3=8+16=24 が最小値です。
（* は掛け算を表す記号です。）