質問<2258>2005/3/29
x+2y=6,x≧0,y≧0のとき、 x3乗+2y3乗の最小値およびそのときのx,yの値を求めよ。 わからないので教えて頂けたら嬉しいです。。。 ★希望★完全解答★
お便り2005/4/2
from=KINO
この問題は一文字だけの最大最小問題に変換できます。 xの3乗を x^3 のように書くことにします。 また1割る2のような分数を 1/2 と書きます。 y≧0, x+2y=6 という条件から 0≦2y=6-x. これより x≦6. x≧0 と合わせて 0≦x≦6. この範囲で,x の関数 f(x)=x^3+2y^3=x^3+2(3-x/2)^3 =(3/4)x^3+(9/2)x^2-27x+54 の最小値を求めることにします。 それには微分して関数の増減を調べればよいです。 f'(x)=(9/4)x^2+9x-27=(9/4)(x^2+4x-12) =(9/4)(x-2)(x+6) で,0≦x<2 で f'(x)<0 より f(x) は単調減少, 2<x では f'(x)>0 より f(x) は単調増加とわかります。 よって x=2 で f(x) は極小かつ最小です。 このとき y=2 なので,2^3+2*2^3=8+16=24 が最小値です。 (* は掛け算を表す記号です。)