質問<2277>2005/4/7
ルート(2のn乗+2の100乗)が整数となるような整数nを求めよ。 をといてください。 ★希望★完全解答★
お便り2005/4/10
from=宵かがり
自然数mに対して、2^n+2^100=m^2・・・※ と書ける。 2^n={m-(2^50)}{m+(2^50)} よって m-(2^50)=2^i・・・(1) m+(2^50)=2^j・・・(2) (iとjはi<jとなるような自然数) (2)-(1)より 2^51=2^i*{2^(j-i)-1} 2^(j-i)-1は奇数だから2^(j-i)=2 2^i=2^51 となる。 よってi=51、j-i=1となる したがって、j=52,i=51となる。 (1)に代入してm=3*2^50 ※に代入して2^n+2^100=9*2^100 2^n=8*2^100=2^103 よってn=103となります。