質問＜２２８２＞２００５／４／９
from=taka
「数列の問題について」

初めまして、takaと申します。

数列の問題で教えていただきたいことがあるのでお願い致します。
『s＝2・3＋5・3^2＋8・3^3＋…＋(3ｎ－1)・3^n』…①

の解答で、①からsを三倍したものを引いた式、
－2s＝6＋(3^3＋3^4＋…＋3^n＋1)－(3n－1)･3^n＋1

から次の式、
－2s＝6＋{3^3(3^n－1)}/{3－1}－(3n－1)･3^n＋1

の{3^3(3^n－1)}/{3－1}が何がどうなったのかよく分からないので、
誰かよろしくお願い致します｡｡｡

★希望★ヒント希望★

お便り２００５／４／１３
from=KINO

－2s＝6＋(3^3＋3^4＋…＋3^(n＋1))－(3n－1)･3^(n＋1)
と 
－2s＝6＋{3^3(3^n－1)}/{3－1}－(3n－1)･3^(n＋1)
をよく見比べてみると，
(3^3＋3^4＋…＋3^(n＋1))={3^3(3^n－1)}/{3－1}
という対応がつきます。

左辺は，初項 3^3, 公比 3 の等比数列の和になっています。

一般に初項 a, 公比 r の等比数列の和は
a+ar+...+ar^(k-1)=a(1-r^k)/(1-r)
あるいは，右辺の分子と分母の符号を逆にした
a+ar+...+ar^(k-1)=a(r^k-1)/(r-1)
となることが知られています。
（必ず高校の教科書には載っているはずです。）

ふたつめの方の公式で，a=3^3, r=3 とおけば，
和をとる最後の項は 3^(n+1)=3^3*3^(n-2) ですので，
公式と見比べると k-1=n-2, すなわち k=n-1 であることがわかります。
よって，これらを公式に代入すれば
3^3＋3^4＋…＋3^(n＋1)=3^3(3^(n-1)－1)/(3-1)
となって，疑問にお持ちだった等式が出てきます。

お便り２００５／４／１３
from=wakky

3^3＋3^4＋…＋3^(n＋1)の部分は
3^2＋3^3＋…＋3^n
の誤りであると思われます。
初項3・3^2、公比3、項数n-1の等比数列の和なので
公式にあてはめると
3・3^2{3^(n-1)-1}/(3-1)
=3^3{3^(n-1)-1}/(3-1)
となると思います。