質問<2282>2005/4/9
初めまして、takaと申します。 数列の問題で教えていただきたいことがあるのでお願い致します。 『s=2・3+5・3^2+8・3^3+…+(3n-1)・3^n』…① の解答で、①からsを三倍したものを引いた式、 -2s=6+(3^3+3^4+…+3^n+1)-(3n-1)・3^n+1 から次の式、 -2s=6+{3^3(3^n-1)}/{3-1}-(3n-1)・3^n+1 の{3^3(3^n-1)}/{3-1}が何がどうなったのかよく分からないので、 誰かよろしくお願い致します。。。 ★希望★ヒント希望★
お便り2005/4/13
from=KINO
-2s=6+(3^3+3^4+…+3^(n+1))-(3n-1)・3^(n+1) と -2s=6+{3^3(3^n-1)}/{3-1}-(3n-1)・3^(n+1) をよく見比べてみると, (3^3+3^4+…+3^(n+1))={3^3(3^n-1)}/{3-1} という対応がつきます。 左辺は,初項 3^3, 公比 3 の等比数列の和になっています。 一般に初項 a, 公比 r の等比数列の和は a+ar+...+ar^(k-1)=a(1-r^k)/(1-r) あるいは,右辺の分子と分母の符号を逆にした a+ar+...+ar^(k-1)=a(r^k-1)/(r-1) となることが知られています。 (必ず高校の教科書には載っているはずです。) ふたつめの方の公式で,a=3^3, r=3 とおけば, 和をとる最後の項は 3^(n+1)=3^3*3^(n-2) ですので, 公式と見比べると k-1=n-2, すなわち k=n-1 であることがわかります。 よって,これらを公式に代入すれば 3^3+3^4+…+3^(n+1)=3^3(3^(n-1)-1)/(3-1) となって,疑問にお持ちだった等式が出てきます。
お便り2005/4/13
from=wakky
3^3+3^4+…+3^(n+1)の部分は 3^2+3^3+…+3^n の誤りであると思われます。 初項3・3^2、公比3、項数n-1の等比数列の和なので 公式にあてはめると 3・3^2{3^(n-1)-1}/(3-1) =3^3{3^(n-1)-1}/(3-1) となると思います。