質問＜２２８４＞２００５／４／１１
from=Recoba
「偏微分と重積分」

(1)log√(x^2+y^2)=arctan(y/x)のときdx/dyを求めよ。
(2)∫∫D(x^2+y^2)dxdy 　D:x^2/a^2+y^2/b^2≦1

お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／８／３
from=hoge

(2) ab(a+b)π/4
    極座標に変換する。

お便り２００６／１０／３
from=みのる

（１）（２）共途中経過も教えて下さい。

お便り２００６／１０／４
from=主夫

(1)log√(x^2+y^2)=arctan(y/x)のときdx/dyを求めよ。

あえてdy/dxを求めてみます。
[1/{2(x^2+y^2)}]*{2x+2y(dy/dx)}=[1/{1+(y/x)^2}]*{(1/x)(dy/dx)-y/x^2)}
以下変形してdy/dxについて解く。
dy/dx=(x+y)/(x-y)


(2)∫∫D(x^2+y^2)dxdy 　D:x^2/a^2+y^2/b^2≦1

２重積分の変数変換をすればできます。
つまり,JacobianＪ≠0　ならば
∬_Df(x,y)dxdy=∬_D'f(ψ(u,v),φ(u,v)l∂(ψ,φ)/∂(u,v)ldudv
を用いて解く。

x=arcosθ y=brsinθ とおくと，
0≦r≦1,0≦θ≦2π
JacobianＪ
=∂(x,y)/∂(r,θ)
=(∂x/∂r)*(∂y/∂θ)-(∂x/∂θ)*(∂y/∂r)
=abrcos^2θ-(-abrsin^2θ)
=abr

与式
=∫[0 2π]∫[0 1]abr{(arcosθ)^2+(brsinθ)^2}drdθ
=…
=ab(a^2+b^2)*π/4