質問＜２２８８＞２００５／４／１２
from=タカ
「数列」

次の漸化式によって帰納的に定められた数列の一般項を求めよ。
(1)a_[1]=1, a_[n+1]=a_[n]+n
(2)a_[1]=1, 2a_[n+1]=a_[n]+2

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／１３
from=KINO

(1) 
a[n+1]-a[n]=n,
a[n]-a[n-1]=n-1,
.............,
a[2]-a[1]=1
と並べて書いた式を辺々加えると，
a[2]からa[n]までは符号が違うものを加え合わせるので打ち消しあって，
a[n+1]-a[1]=1+2+3+...+n=n(n+1)/2.
よって a[1]=1 より
a[n+1]=1+n(n+1)/2.
番号をずらすために n+1 を n におきかえると
a[n]=1+(n-1)n/2.

(2) 漸化式の両辺に 2^n をかけ，b[n]=(2^n)a[n] とおくと，
b[n]に関する漸化式
b[n+1]=b[n]+2^(n+1)
を得る。
これを(1)と同様に並べて加えると
b[n+1]=b[n]+2^(n+1)
b[n]=b[n-1]+2^n
................,
b[2]=b[1]+2^2
より
(b[2]+b[3]+...+b[n])+b[n+1]=b[1]+(b[2]+b[3]+...+b[n])+2^2+2^3+...+2^(n+1)
となり，両辺の(b[2]+b[3]+...+b[n])は打ち消しあって，さらに
2^2+2^3+...+2^(n+1) は初項 2^2, 公比 2 の等比数列の第 n 項までの和だから，
公式より 2^2(2^n-1)/(2-1)=2^(n+2)-2^2.
b[1]=(2^1)a[1]=2 より,  
b[n+1]=2+{2^(n+2)-4}=2^(n+2)-2.
番号を n+1 から n にずらぜば
b[n]=2^(n+1)-2.
a[n]=b[n]/2^n=2-1/2^(n-1).