質問<229>2000/2/18
積分の質問に答えてくれてありがとうございます。今回もよ ろしくおねがいします。logや三角関数の積分で、ややこし い問題が多く、なかなか解けない問題が多く困ってます。 次の関数を積分せよ。 1、(1÷x)logx 2、cosx^5sinx 3、e^x÷(e^x+1) 4、x+1÷cos^3x
お返事2000/2/19
from=武田
問1 ∫(1/x)logxdx logx=tとおくと、(1/x)dx=dt ∫(1/x)logxdx=∫tdt=t2/2+C (logx)2 =─────+C ……(答) 2 問2 ∫cos5x・sinxdx cosx=tとおくと、-sinxdx=dt ∫cos5x・sinxdx=∫t5(-1)dt =-∫t5dt=-t6/6+C cos6x =-────+C ……(答) 6 問3 ex ∫────dx ex+1 ex=tとおくと、exdx=dt ex dt ∫────dx=∫────=log|t+1|+C ex+1 t+1 =log|ex+1|+C ……(答) 問4 1 x2 ∫(x+────)dx=──+P cos3x 2 1 1 1 P=∫───dx=∫√(───)・───dx cos3x cos2x cos2x 1 =∫√(1+tan2x)・───dx cos2x 1 tanx=tとおくと、────dx=dt cos2x P=∫√(1+t2)dt=∫√(t2+1)dt =(1/2){t√(t2+1)+log(t+√(t2+1))}+C 1 =─{tanx√(tan2x+1)+log(tanx+√(tan2x+1))}+C 2 1 1 1 =─{tanx・───+log(tanx+───)}+C 2 cosx cosx 1 ∫(x+───)dx cos3x x2 1 1 1 =─+─{tanx・───+log(tanx+───)}+C……(答) 2 2 cosx cosx