質問＜２２９＞２０００／２／１８
from=水島愛
「積分」

積分の質問に答えてくれてありがとうございます。今回もよ
ろしくおねがいします。logや三角関数の積分で、ややこし
い問題が多く、なかなか解けない問題が多く困ってます。

次の関数を積分せよ。
１、（１÷ｘ）ｌｏｇｘ
２、ｃｏｓｘ＾５ｓｉｎｘ
３、ｅ＾ｘ÷（e＾ｘ＋１）
４、ｘ＋１÷ｃｏｓ＾３ｘ

お返事２０００／２／１９
from=武田

問１
∫（1/x）logｘｄｘ
logｘ＝ｔとおくと、（1/x）ｄｘ＝ｄｔ
∫（1/x）logｘｄｘ＝∫ｔｄｔ＝ｔ2／２＋Ｃ

　（logｘ）2
＝─────＋Ｃ　……（答）
　　　２

問２
∫cos5ｘ・sinｘｄｘ
cosｘ＝ｔとおくと、－sinｘｄｘ＝ｄｔ
∫cos5ｘ・sinｘｄｘ＝∫ｔ5（－１）ｄｔ
＝－∫ｔ5ｄｔ＝－ｔ6／６＋Ｃ

　　cos6ｘ
＝－────＋Ｃ　……（答）
　　　６

問３
　　ｅx
∫────ｄｘ
　ｅx＋１
ｅx＝ｔとおくと、ｅxｄｘ＝ｄｔ
　　ｅx　　　　　　　ｄｔ
∫────ｄｘ＝∫────＝ｌｏｇ｜ｔ＋１｜＋Ｃ
　ｅx＋１　　　　　ｔ＋１
＝ｌｏｇ｜ｅx＋１｜＋Ｃ　……（答）

問４
　　　　　１　　　　　　ｘ2
∫（ｘ＋────）ｄｘ＝──＋Ｐ
　　　　cos3ｘ　　　　　２

　　　　１　　　　　　　　１　　　　１
Ｐ＝∫───ｄｘ＝∫√（───）・───ｄｘ
　　　cos3ｘ　　　　　　cos2ｘ　　cos2ｘ

　　　　　　　　　　　　　１
　＝∫√（１＋tan2ｘ）・───ｄｘ
　　　　　　　　　　　　cos2ｘ
　　　　　　　　　　　１
tanｘ＝ｔとおくと、────ｄｘ＝ｄｔ
　　　　　　　　　　cos2ｘ
Ｐ＝∫√（１＋ｔ2）ｄｔ＝∫√（ｔ2＋１）ｄｔ
　＝(1/2)｛ｔ√（ｔ2＋１）＋log（ｔ＋√（ｔ2＋１））｝＋Ｃ
　　１
　＝─{tanｘ√(tan2ｘ＋１)＋log(tanｘ＋√(tan2ｘ＋１))}＋Ｃ
　　２
　　１　　　　　　１　　　　　　　　１
　＝─｛tanｘ・───＋log（tanｘ＋───）｝＋Ｃ
　　２　　　　　cosｘ　　　　　　　cosｘ

　　　　　１
∫（ｘ＋───）ｄｘ
　　　　cos3ｘ

　ｘ2　1　　　　　　１　　　　　　　　　１
＝─＋─｛tanｘ・───＋log（tanｘ＋───）｝＋Ｃ……（答）
　２　２　　　　　cosｘ　　　　　　　cosｘ