質問<2307>2005/4/24
k>1のとき、2のⅩ乗-sinx-k=0は 少なくとも1つの正の解を持つことを証明せよ。 ★希望★完全解答★
お便り2005/4/26
from=KINO
中間値の定理を用います。 f(x)=2^x-sin(x)-k とおくと,k>1 の仮定より f(0)=1-k<0. 一方,必ず 2^a>k+2 となる正の数 a が存在しますので, f(a)=2^a-sin(a)-k>2-sin(a). 正弦関数 sin(x) は 1 より大きい値をとりませんので, a がどんな値であれ,必ず 2-sin(a)>0. すなわち,f(a)>0. f(x) は(実数全体で定義された)連続関数ですので, 中間値の定理より 0<b<a なる実数 b で f(b)=0 をみたすものが 必ずひとつは存在します。 このようにして, f(x)=0 の正の解が少なくともひとつ存在することが示されます。