質問＜２３０７＞２００５／４／２４
from=数
「証明」

ｋ＞１のとき、２のⅩ乗－sinx－k＝０は
少なくとも１つの正の解を持つことを証明せよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／２６
from=KINO

中間値の定理を用います。

f(x)=2^x-sin(x)-k とおくと，k＞1 の仮定より f(0)=1-k＜0.

一方，必ず 2^a＞k+2 となる正の数 a が存在しますので，
f(a)=2^a-sin(a)-k>2-sin(a).
正弦関数 sin(x) は 1 より大きい値をとりませんので，
a がどんな値であれ，必ず 2-sin(a)＞0.
すなわち，f(a)＞0.

f(x) は（実数全体で定義された）連続関数ですので，
中間値の定理より 0＜b＜a なる実数 b で f(b)=0 をみたすものが
必ずひとつは存在します。

このようにして，
f(x)=0 の正の解が少なくともひとつ存在することが示されます。