質問<2310>2005/4/27
∫(a+bx+cx^2)^n dx の積分を教えてもらえますか? 括弧の中の式全体にn乗がついているのがやっかいなのです... よろしくお願い致します. ★希望★完全解答★
お便り2005/5/4
from=亀田馬志
これはちょっと分かりませんねえ~。確かに難問だと思いました。 と言うワケで『完全解答』とは参りませんが、少々アイディアを出したいと思います。 >∫(a+bx+cx^2)^n dx の積分 基本的には『置換積分』の問題として捉えて構わないと思います。 ココでu=a+bx+cx^2と置くと上手く行かない。 原則的にこの問題の様に『xの二乗』が絡む問題は平方完成を狙って三角関数で置換 させるのがセオリーです。つまりこの場合、 ・√{(b^2-4ac)/4c^2}sinθ=b/2c+x と置いてみる。よって微分は ・dx=√{(b^2-4ac)/4c^2}cosθdθ となって上手く事が運ぶ・・・ハズなんですが、この積分はいささかやっかいです。 計算過程に結局次の部分が出てくるんですよね。 ・∫cosθ・(cosθ)^(2n)dθ しょうがないんで部分積分を実行してみました。 ・∫cosθ・(cosθ)^(2n)dθ =sinθ(cosθ)^2n+2n∫{(cosθ)^(2n-1)}{(sinθ)^2}dθ ここで(sinθ)^2+(cosθ)^2=1を利用して、 ・∫cosθ・(cosθ)^(2n)dθ =sinθ(cosθ)^2n+2n∫{(cosθ)^(2n-1)}{1-(cosθ)^2}dθ =sinθ(cosθ)^2n+2n∫(cosθ)^(2n-1)dθ-2n∫(cosθ)^(2n+1)dθ 次に∫(cosθ)^(2n+1)dθ=∫cosθ・(cosθ)^(2n)dθなので、右辺の∫の二項目を 左辺に移動させて整理すると、 ・(2n+1)∫(cosθ)^(2n+1)dθ=sinθ(cosθ)^2n+2n∫(cosθ)^(2n-1)dθ ∴∫(cosθ)^(2n+1)dθ ={1/(2n+1)}sinθ(cosθ)^2n+{2n/(2n+1)}∫(cosθ)^(2n-1)dθ・・・☆ 結果積分の2項目は消えないんですね。ただし、☆式自体の循環にはなるんで、次の 級数がこの積分じゃないか、と言う予想が付きます。 ∫(cosθ)^(2n+1)dθ ={1/(2n+1)}sinθ(cosθ)^2n+{2n/(2n+1)(2n-1)}sinθ(cosθ)^(2n-2) +{2n(2n-2)/(2n+1)(2n-1)(2n-3)}sinθ(cosθ)^(2n-4) +{2n(2n-2)(2n-4)/(2n+1)(2n-1)(2n-3)(2n-5)}sinθ(cosθ)^(2n-6) +・・・・・・・・・ ひょっとして『順列/組み合わせ』使えばもっとキレイな表現が出来るのかもしれま せんが、僕は不勉強なんでコレで勘弁して下さい(笑)。もう『順列/組み合わせ』 大ッキライだったんです(笑)。 まあ、てなワケで『無限級数』使えば何とか積分出来そうなんで、アトは三角関数を 元の式にもどしてみて下さい。