質問＜２３４４＞２００５／５／１２
from=オレンジ
「２変数関数」

２変数ｘ、ｙが
ｘ≧０かつｙ≧０かつｘ+ｙ≦３
を満たしながら変わるとき
ｚ＝x^2-2xy+2y^2-2x-2y+6
の最小値を求めよ。

通常の場合(？)はできるんですが、
xとyが不等式で互いに関係を及ぼしていると上手く扱えません。
どうしたらいいか教えて下さい。

★希望★完全解答★

お便り２００５／５／１４
from=wakky

通常の場合とは、ｘ＋ｙ＝３のとき・・・ならできるということだと思います。
ｘ＋ｙ≦３だからｘ＋ｙがどんな値をとるかわかりませんね。
ただ、０≦ｘ＋ｙ≦３であることはすぐわかると思います。
ならば、ｘ＋ｙ＝ｋとおいてしまいましょう。
このとき ０≦ｋ≦３ ですね。
すると、ｙ＝ｋ－ｘ
こうなると、オレンジさんの言うところの「通常」モードになるのではないでしょうか？
途中計算省略しますが、与式にｙ＝ｋ－ｘを代入して整理して、平方完成すると。
ｚ＝５｛ｘ－（３ｋ／５）｝^2＋ｋ^2／５－２ｋ＋６
となります。
ｘ＝３ｋ／５のとき最小値ｋ^2／５－２ｋ＋６といきたくなりますが、
０≦ｋ≦３であることを思い出して
ｋ^2／５－２ｋ＋６＝（１／５）（ｋ－５）^2＋１と平方完成して
０≦ｋ≦３の範囲で最小値を求めればいい訳です。
（グラフを書いてみましょう）
従って、ｋ＝３のとき最小となって
ｚの最小値は９／５
このとき
ｘ＝３ｋ／５＝９／５，このときｙ＝６／５
ちなみに、最大値はｋ＝０のときｚ＝６
このときｘ＝ｙ＝０