質問<2344>2005/5/12
2変数x、yが x≧0かつy≧0かつx+y≦3 を満たしながら変わるとき z=x^2-2xy+2y^2-2x-2y+6 の最小値を求めよ。 通常の場合(?)はできるんですが、 xとyが不等式で互いに関係を及ぼしていると上手く扱えません。 どうしたらいいか教えて下さい。 ★希望★完全解答★
お便り2005/5/14
from=wakky
通常の場合とは、x+y=3のとき・・・ならできるということだと思います。 x+y≦3だからx+yがどんな値をとるかわかりませんね。 ただ、0≦x+y≦3であることはすぐわかると思います。 ならば、x+y=kとおいてしまいましょう。 このとき 0≦k≦3 ですね。 すると、y=k-x こうなると、オレンジさんの言うところの「通常」モードになるのではないでしょうか? 途中計算省略しますが、与式にy=k-xを代入して整理して、平方完成すると。 z=5{x-(3k/5)}^2+k^2/5-2k+6 となります。 x=3k/5のとき最小値k^2/5-2k+6といきたくなりますが、 0≦k≦3であることを思い出して k^2/5-2k+6=(1/5)(k-5)^2+1と平方完成して 0≦k≦3の範囲で最小値を求めればいい訳です。 (グラフを書いてみましょう) 従って、k=3のとき最小となって zの最小値は9/5 このとき x=3k/5=9/5,このときy=6/5 ちなみに、最大値はk=0のときz=6 このときx=y=0