質問<2347>2005/5/12
同一体積の場合、表面積が最小の立体は球ですが どうやって証明するのでしょうか? 同一表面積で周囲長が最小になる円も 同様にして証明出来るんでしょうか? 参考文献も分かればお願いします(英語可)。 ★希望★完全解答★
お便り2005/5/17
from=honda
「変分法」という名前の本を 探してみてください. 基本的にはEuler方程式とかいう 微分方程式を解くことになります. 提示された問題は変分法の 初歩の問題(というか,ほとんど発祥の問題)なので 変分法の初歩的な本にはでてるはずです ちなみに,同様の問題として 最速降下曲線(サイクロイド)の問題があります. なお,提示された問題は幾何的にも解けますが かなり厄介です 確か方針としては 「解が存在することを前提として」 (1)求める閉曲線は凸である (2)求める閉曲線は点対称である (3)求める閉曲線は線対称である (4)点対称の中心から閉曲線上の任意の点までの 線分はその閉曲線の接線と垂直である なんてことをひたすら証明していくんだったと 思います(これはうろ覚え). これは円でも球でも同様です. #これもきっと出てる本があるはず. #細かいことをいうと幾何的な方針では #厳密性に欠けます.