質問＜２３４８＞２００５／５／１４
from=タケ
「図形？」

y=x^n(1-x)が全ての自然数nについて成り立つような平面状の点の存在する範囲を
図示せよ。
って問題なんですが、全く分からないんでお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／５／１６
from=KINO

y=x^n(1-x) が全ての自然数 n について成り立つような (x,y) の範囲を D とおく
ことにします。
もしも (a,b)∈D ならば，b=a^n(1-a) が全ての n に対して成り立つことになりま
すが，特に n=1, n=2 として
b=a(1-a), b=a^2(1-a) が成り立つことになります。
よって，a(1-a)=a^2(1-a). これより，a(1-a)^2=0.
ゆえに a=0 または a=1 でなければなりません。
よって，b=0 でなければならないこともわかります。

つまり，(a,b)∈D ならば (a,b)=(0,0) または (1,0) でなければならないことが
わかりました。

逆にこのとき，(a,b)=(0,0) または (1,0) ならば，どの自然数 n に対しても 
a^n(1-a)=0=b ですから，(0,0)∈D かつ (1,0)∈D であることがわかります。

よって，D={(0,0),(1,0)} で，D は xy 平面上の原点 (0,0) と，(1,0) という2点
のみからなる図形であることがわかりました。