質問<2348>2005/5/14
y=x^n(1-x)が全ての自然数nについて成り立つような平面状の点の存在する範囲を 図示せよ。 って問題なんですが、全く分からないんでお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2005/5/16
from=KINO
y=x^n(1-x) が全ての自然数 n について成り立つような (x,y) の範囲を D とおく ことにします。 もしも (a,b)∈D ならば,b=a^n(1-a) が全ての n に対して成り立つことになりま すが,特に n=1, n=2 として b=a(1-a), b=a^2(1-a) が成り立つことになります。 よって,a(1-a)=a^2(1-a). これより,a(1-a)^2=0. ゆえに a=0 または a=1 でなければなりません。 よって,b=0 でなければならないこともわかります。 つまり,(a,b)∈D ならば (a,b)=(0,0) または (1,0) でなければならないことが わかりました。 逆にこのとき,(a,b)=(0,0) または (1,0) ならば,どの自然数 n に対しても a^n(1-a)=0=b ですから,(0,0)∈D かつ (1,0)∈D であることがわかります。 よって,D={(0,0),(1,0)} で,D は xy 平面上の原点 (0,0) と,(1,0) という2点 のみからなる図形であることがわかりました。