質問<2366>2005/5/21
nは自然数とする。 x<n+2乗>+y<n+2乗> =(x<n+1乗>+y<n+1乗>)(x+y)-xy(x<n乗>+y<n乗>) を利用して、nが自然数である時、 (1+√2)<n乗>(1-√2)<n乗>は自然数である事を、 数学的帰納法で証明せよ。 ヒントには、{1}n=1のとき、n=2のとき成り立つことを示す {2}n=k、n=k+1のとき成り立つと仮定して、 n=k+2のとき成り立つ事を示す。 よく分からないんでお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2005/6/17
from=wakky
(1+√2)^n・(1-√2)^nであれば n=1のとき (1+√2)(1-√2)=1-2=-1となり 自然数にはなりませんね たぶん (1+√2)^n+(1-√2)^nでしょうね n=1のとき 2となり自然数 n=2のとき 6となり自然数 n=k,n=k+1のとき成り立つと仮定すると (1+√2)^k+(1-√2)^kは自然数 (1+√2)^(k+1)+(1-√2)^(k+1)は自然数 (1+√2)^(k+2)+(1-√2)^(k+2) を計算するとヒントの式を利用すると、自然数になります。