質問<2376>2005/5/22
全ての自然数nに対して次の不等式が成立する事を証明しなさい。 2^(n+1)>n^2+n+1 なんですが、やり方も全くわかりません。詳しいやり方で教えてください。 ★希望★完全解答★
お便り2005/6/13
from=KINO
数学的帰納法というものを利用します。 [1] 2^(1+1)=2^2=4>3=1^2+1+1 より,この不等式は n=1 のとき成り立つことが 確められます。 さらに,n=2 を代入してみても,8>7 よりこの不等式が成り立つことがわかります。 [2] 2より大きいある自然数 k に対して 2^(k+1)>k^2+k+1 が成り立つと仮定します。 このとき,この不等式の両辺に 2 をかけると,2^(k+2)>2(k^2+k+1) が成り立つこと になります。 さて,2(k^2+k+1)-{(k+1)^2+(k+1)+1}=k^2-k-1=(k+1)(k-2)+1 ですが, k≧2 と仮定しましたのでこれは正の数になります。よって 2^(k+2)>2(k^2+k+1)>(k+1)^2+(k+1)+1 という不等式が成り立つことになります。 [3] 数学的帰納法により, 全ての自然数 n について不等式 2^(n+1)>n^2+n+1 が成り立つことが示されました。