質問<2382>2005/5/23
Xが正規分布N(μ,σ^2)に従うとき Y=aX^2(aは正の定数)の分布関数F_Y(y)と確率密度関数p_Y(y)を求めよ。 計算してみましたが答えが綺麗でないので自信がありません。 よろしかったら確認してください。 E(y) =∫_-∞^∞(以下これを単に∫で表す)y*p(y)*dy =∫2x^2*p(2x^2)*2ax*dx =4a∫x^3/{√(2π)σ}*e^{-(2x^2-μ)^2/2σ^2}*dx ここで z=(2x^2-μ)/σ, dx=σ/4x*dz, x^2=(σz+μ)/2 として計算すると =a/2∫(σz+μ)/√(2π)*e^(-z^2/2)*dz =aμ/2 σ^2(y) =∫(y-aμ/2)^2*p(y)dy =aσ^2/2-(1-a/2)^2 従って p_Y(y)=1/{√(2π)σ(y)*e^{(x-aμ/2)^2/2σ(y)^2} F_Y(y)=∫_-∞^y{p_Y(y)}}*dy 計算を途中省略してすいません。 Eが合っているようなら全部載せることを考えます。 失礼なお願いですがよろしくお願いします。 ★希望★ヒント希望★
お便り2005/5/25
from=juin
Xの分布がN(μ,σ^2)のとき、Y=aX^2は正規分布になりません。 F(y)=P(Y<y)=0 (y<0) F(y)=P(Y<y)=P(aX^2<y)=P(-(√y)/a<X<(√y)/a) =P(X<(√y)/a)-P(X<-(√y)/a) 密度関数はこれを微分する。