質問＜２３８５＞２００５／５／２４
from=ピチョンくん
「解析学で出された問題」

{ａ_n}を非負単調減少数列とし、∑{n=1,∞}ａ_nが収束するとき、
ｌｉｍ{n→∞}ｎ・ａ_n＝０となることを示せ。

できるだけ詳しい回答をお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／８／２
from=hoge

対偶を示す。
ε＞ 0 が存在して、任意の自然数 N に対して、自然数 n が存在して、
n ＞ N かつ a_n ≧ ε/ n
そこで次のような数列 { n_i } を構成することができる、すなわち、
i ≧ 1 に対して n_{i+1} ＞ 2 n_i であって、a_{n_i} ≧ ε/ n_i 。
級数の部分和 S_n を考える。a_n が単調減少であることに注意すると、
S_{n_1} ≧ ε、S_{n_{i+1}} - S_{n_i} ≧ ε/ 2 。
すなわち、S_{n_i} ≧ ((i+1) / 2)ε となり、
これが発散することは容易に分かる。