質問<2385>2005/5/24
{a_n}を非負単調減少数列とし、∑{n=1,∞}a_nが収束するとき、 lim{n→∞}n・a_n=0となることを示せ。 できるだけ詳しい回答をお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2005/8/2
from=hoge
対偶を示す。 ε> 0 が存在して、任意の自然数 N に対して、自然数 n が存在して、 n > N かつ a_n ≧ ε/ n そこで次のような数列 { n_i } を構成することができる、すなわち、 i ≧ 1 に対して n_{i+1} > 2 n_i であって、a_{n_i} ≧ ε/ n_i 。 級数の部分和 S_n を考える。a_n が単調減少であることに注意すると、 S_{n_1} ≧ ε、S_{n_{i+1}} - S_{n_i} ≧ ε/ 2 。 すなわち、S_{n_i} ≧ ((i+1) / 2)ε となり、 これが発散することは容易に分かる。