質問＜２３８７＞２００５／５／２５
from=student
「整数問題？」

a^2+b^2+c^2=(ab)^2 を満たす整数(a,b,c)をすべて求めよ

★希望★完全解答★

お便り２００５／６／３
from=UnderBird

結構悩みました。mod 3でa,b,cはすべて３の倍数でなくてはいけないことがわかり
ましたが、それ以上進まず、色々式変形を試みましたがだめで、最後はa,b,cを1か
ら1000までコンピュータに計算させたりもしましたがうまくいかず、最後に下のよ
うな解（あっているか不安）にたどり着きました。
整数論？の問題だったのでしょうか？他にすっきり求まる解法があったら知りたい
です。

a,b,cは0以上の整数と仮定してもよい。
a^2+b^2+c^2=(ab)^2を変形して、
c^2=(b^2-1)a^2-b^2
c=√{(b^2-1)a^2-b^2}
ここで、b^2=1とすると　c=√-1となるので不適
b^2≠1の時
√の中が(整数)^2となるために、
aについて、判別式D=0となればよい。
D=0^2-4･(b^2-1)･(-b^2)=4b^2(b^2-1)より
b^2≠1に注意して、b=0を得る。
よって、与式はa^2+c^2=0となるから、a=c=0
以上から、a^2+b^2+c^2=(ab)^2を満たす整数a,b,cは
(a,b,c)=(0,0,0)の1組