質問<2391>2005/5/28
y=2^n,0<x<1,y=0で囲まれる面積の求め方を教えてください。 ★希望★完全解答★
お便り2005/6/16
from=y
y=2^n,0<x<1,y=0で囲まれる面積の求め方を教えてください。 nはxでしょうか。nだったら簡単で四角形の面積だから 2^n×1=2^n xだったら、求める面積は ∫2^xdx (積分範囲0≦x≦1) =∫2^x(dx/dy)dy (積分範囲1≦y≦2) ここで積分変数をyに置き換えることを考える =∫1/log2dy -(注) =〔y/log2〕 (積分範囲1≦y≦2) =1/log2 (注)について y=2^xについて両辺、対数を取ると(対数微分法を行なう)、 logy=xlog2であるから両辺微分すると y'/y=log2 ⇔ y'=ylog2 であるから dx/dy=1/ylog2 となる。従って、 2^x(dx/dy)=2^x×1/ylog2 =y×1/ylog2 (2^x=yでx消去) =1/log2 をとなるから(注)の式を得る
お便り2005/6/16
from=KINO
問題文がおかしい気がします。 そこで,y=2^n ではなく,y=2^x と考えて解答を述べます。 求める面積は∫[0→1](2^x)dx で与えられます。 2^x の不定積分は (2^x)/log2 ですから, ∫[0→1](2^x)dx=(2^1)/log2-(2^0)/log2=1/log2.
お便り2005/6/16
from=坂田
2^nは結局定数だから、 囲まれる領域は長方形で、 面積はS=2^n×1=2^nではないのでしょうか?? もしy=2^xの間違いなら、lnを自然対数として S =∫_0^1 2^xdx =∫_0^1 e^(xln2)dx =[e^(xln2)/(ln2)]_0^1 =(2-1)/ln2 =1/ln2 だと思います。