質問＜２３９１＞２００５／５／２８
from=ken
「指数関数を使った面積の求め方」

y=2^n,0＜x＜1,y=0で囲まれる面積の求め方を教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００５／６／１６
from=ｙ

y=2^n,0＜x＜1,y=0で囲まれる面積の求め方を教えてください。
ｎはｘでしょうか。ｎだったら簡単で四角形の面積だから
　2^n×１＝2^n

ｘだったら、求める面積は
　　∫2^ｘｄｘ　　　　　　 (積分範囲０≦ｘ≦１)
　＝∫2^ｘ(ｄｘ/ｄｙ)ｄｙ　(積分範囲１≦ｙ≦２)
　ここで積分変数をｙに置き換えることを考える
　＝∫１/log２ｄｙ　　－(注)
　＝〔ｙ/log２〕　　　　　 (積分範囲１≦ｙ≦２)
　＝１/log２

(注)について
　ｙ＝２^ｘについて両辺、対数を取ると(対数微分法を行なう)、
logｙ＝ｘlog２であるから両辺微分すると
　ｙ'/ｙ＝log２　⇔　ｙ'＝ｙlog２
であるから
　ｄｘ/ｄｙ＝１/ｙlog２
となる。従って、
　2^ｘ(ｄｘ/ｄｙ)＝2^ｘ×１/ｙlog２
　　　　　　　　 ＝ｙ×１/ｙlog２　(2^x=yでx消去)
　　　　　　　　 ＝１/log２
をとなるから(注)の式を得る

お便り２００５／６／１６
from=KINO

問題文がおかしい気がします。
そこで，y=2^n ではなく，y=2^x と考えて解答を述べます。
求める面積は∫[0→1](2^x)dx で与えられます。
2^x の不定積分は (2^x)/log2 ですから，
∫[0→1](2^x)dx=(2^1)/log2-(2^0)/log2=1/log2.

お便り２００５／６／１６
from=坂田

2^nは結局定数だから、
囲まれる領域は長方形で、
面積はS=2^n×1=2^nではないのでしょうか？？

もしy=2^xの間違いなら、lnを自然対数として

S =∫_0^1 2^xdx =∫_0^1 e^(xln2)dx 
　=[e^(xln2)/(ln2)]_0^1
  =(2-1)/ln2
  =1/ln2

だと思います。