質問＜２４０４＞２００５／６／４
from=SV
「写像fが全単射となる為の必要十分条件」

写像f：R~2→R^2,ｆ(x,y)=(ax+by,cx+dy)が全単射となる為の必要十分条件
を求めよ。ただし、a,b,c,d∈Rとする。

宜しく御願い致します。

★希望★完全解答★

お便り２００５／６／１６
from=juin

連立方程式ax+by=s,cx+dy=tを考える。
任意の(s,t)に対して、解(x,y)が存在すれば、fは全射である。
adx+bdy=ds,bcx+bdy=btの差を取り、(ad-bc)x=ds-bt
ad-bc≠0ならば、解が存在する。
x=(ds-bt)/(ad-bc),y=(at-cs)/(ad-bc)
よって、
(1)ad-bc≠0ならば、全射である。同時に単射でもある。
(2)全射ならば、ad-bc≠0である。また、単射でもある。

お便り２００５／８／１０
from=主夫

juinさんの解答に質問があります。
「任意の(s,t)に対して、解(x,y)が存在すれば、fは全射である。」
ここの「fは全射である」という部分について、
もう少し詳しくご説明願えませんか？

お便り２００５／１２／２５
from=たなか

　まず、全写の定義ですが、
「マッピング先の任意の要素に対して、マッピング元の要素がある」
ということなんですよ。
　例えば、f:R→Rで、f(x)=xは、全写ですよね。
　しかし、f:Z→Zで、f(x)=x+1は、全写となりません。
（ただし、Zは、自然数。なぜならば、１にマッピングされるマッピング元の
自然数は、ありませんから）
　今でも、全写とか単写とかいう表現は、使われてますか？
２５年くらい前、フランスに数学者集団：ブルバキというのがいて、
その言葉を使ってましたが。