質問＜２４１７＞２００５／６／１１
from=K.K
「不等式」

X＞０のとき次の不等式が成り立つことを示せ。

  X　＞　sinX　＞　X-Xの三乗/6

★希望★完全解答★

お便り２００５／６／１５
from=WU

f(x)=x-sinx
g(x)=SINｘ－x＋x^3/6
とするとf(x)については－１≦ＳＩＮＸ≦１を考慮すると、
０＜Ｘ≦１のみの範囲でｆ（ｘ）について０より大きいことが
言えれば良い。そこで、
　ｆ（ｘ）＝ｘ－ＳＩＮｘ　（０＜ｘ≦１）
　ｆ’（ｘ）＝１－ＣＯＳｘ≧０　（∵COSｘ＜１）
であるからｆ（ｘ）は単調増加である。よって、
　ｆ（ｘ）＞ｆ（０）＝１－ＣＯＳ０
すなわち
　ｆ（ｘ）＞０
つまり
　ｘ－SINｘ＞０　ie　ｘ＞SINｘ　－①
次に、ｇ（ｘ）について
　ｇ'（ｘ）＝COSｘ－１＋1ｘ^2/2
　ｇ"（ｘ）＝－SINｘ＋ｘ＞０（∵ｆ（ｘ））
よってｇ'（ｘ）は単調増加であるので
　ｇ'（ｘ）＞ｇ'（０）＝０
よってｇ（ｘ）は単調増加であると分るので、
　ｇ（ｘ）＞ｇ（０）＝０
すなわち
　SINｘ＞ｘ－ｘ^3/6　－②
①②から
　ｘ＞SINｘ＞ｘ－ｘ^3/6

お便り２００５／６／１５
from=wakky

もっとエレガントな解法があるのかもしれませんが、
地味にやってみました。

f(x)=x-sinxとおく。
f'(x)=1-cosx≧0
x≧0でf'(x)=0となるのは、x=2nπ(n=0,1,2....)のときだけ
よってf(x)はx≧0で単調増加
f(0)=0よりf(x)＞f(0)＞0
すなわち、x＞sinx

g(x)=sinx-x+(x^3)/6とおく。
g'(x)=cosx-1+(1/2)x^2
g''(x)=-sinx+1≧0
x≧0でg''(x)=0となるのはx=(π/2)+2nπのとき
よってg'(x)はx≧0で単調増加,g(0)=0より
x＞0では、g'(x)>g'(0)=0
したがってg(x)はx≧0で単調増加
g(x)＞g(0)=0
すなわち、sinx＞x+(x^3)/6

以上から、与えられた不等式が成り立ちます。

お便り２００５／６／１６
from=juin

x＞0のとき、sinx＜x
証明
単位円を考える。O(0,0),A(1,0)とし、単位円周上の点
P(cosx,sinx)を考える。(0＜x＜π/2)
△OAP=(1×sinx)/2,扇形OAP=(1×1×x)/2
扇形OAPは△OAPを含むから、sinx＜x
x≧π/2のとき、sinx≦1＜π/2≦x　終

これを使うとlim(sinx/x)=1 (x->0)を示すことができる。
さらに、(sinx)'=cosxも示すことができる。
これらを使い x-x^3/3!＜sinxを証明できる。