質問＜２４２６＞２００５／６／２７
from=ちょうさん
「漸化式」

数列{an}の初項a1から第n項までの和Snが、
S1=0，Sn+1-3Sn=n^2(n=1,2,3,…)を満たす。

(1)数列{an}が満たす漸化式をanとan+1の関係式で表せ

(2)一般項anを求めよ

よろしくお願いします！

★希望★完全解答★

お便り２００５／６／２８
from=wakky

(1)
S(n+1)-3S(n)=n^2・・・①より
S(n)-3S(n-1)=(n-1)^2・・・②(n≧2)
①－②より
(S(n+1)-S(n))-3(S(n)-S(n-1))=2n-1・・・③
a(n)=S(n)-S(n-1)だから
n≧2のとき③から
a(n+1)-3a(n)=2n-1
これはn=1のときも成り立つ。
（答）a(n+1)-3a(n)=2n-1

(2)
(1)より　a(n+1)-3a(n)=2n-1・・・④
n≧2のとき④から
a(n)-3a(n-1)=2(n-1)-1=2n-3・・・⑤
④－⑤より
a(n+1)-a(n)-3(a(n)-a(n-1))=2
b(n)=a(n+1)-a(n)とおくと
b(n)-3b(n-1)=2
よって　b(n)+1=3(b(n-1)+1)=2・3^(n-1)
ゆえに　b(n)=2・3^(n-1)-1
数列{b(n)}は数列{a(n)}の階差数列だから
a(n)=a(1)+Σ(k=1to(n-1))b(n)=3^(n-1)-n
これはn=1のときも成り立つ。
（答）a(n)=3^(n-1)-n