質問<2426>2005/6/27
数列{an}の初項a1から第n項までの和Snが、 S1=0,Sn+1-3Sn=n^2(n=1,2,3,…)を満たす。 (1)数列{an}が満たす漸化式をanとan+1の関係式で表せ (2)一般項anを求めよ よろしくお願いします! ★希望★完全解答★
お便り2005/6/28
from=wakky
(1) S(n+1)-3S(n)=n^2・・・①より S(n)-3S(n-1)=(n-1)^2・・・②(n≧2) ①-②より (S(n+1)-S(n))-3(S(n)-S(n-1))=2n-1・・・③ a(n)=S(n)-S(n-1)だから n≧2のとき③から a(n+1)-3a(n)=2n-1 これはn=1のときも成り立つ。 (答)a(n+1)-3a(n)=2n-1 (2) (1)より a(n+1)-3a(n)=2n-1・・・④ n≧2のとき④から a(n)-3a(n-1)=2(n-1)-1=2n-3・・・⑤ ④-⑤より a(n+1)-a(n)-3(a(n)-a(n-1))=2 b(n)=a(n+1)-a(n)とおくと b(n)-3b(n-1)=2 よって b(n)+1=3(b(n-1)+1)=2・3^(n-1) ゆえに b(n)=2・3^(n-1)-1 数列{b(n)}は数列{a(n)}の階差数列だから a(n)=a(1)+Σ(k=1to(n-1))b(n)=3^(n-1)-n これはn=1のときも成り立つ。 (答)a(n)=3^(n-1)-n