質問<2429>2005/6/29
①関数f,gがn回微分できるとき (fg)^(n) =∑ n nCk f^(n)g^(n-k) ・・・(*) k=0 を示せ。 ②(*)を用いてf(x)=x^3 e^3x のn次導関数を求めよ。 ★希望★完全解答★
お便り2005/7/12
from=主夫
ここって結構同じ道を志す人多いんですね。 正しいか自信はありませんが、私なりの解答が参考になれば幸いです。 ちなみにいろんな本をかき集めて作りました。 ① (fg)~(n)はf,g両者あわせての微分の回数がnとなる項f~(n-k)g~(k)を 集めたものである。 つまりnを固定したときしかるべき係数C0,C1,…Cnを用いて (fg)~n=C0f~(n)g+C1f~(n-1)+…+Ckf~(n-k)+…+Cnfg~(n) …① と表すことが出来る。この式のC0,C1,…Cnを求めればよい。 ここでα,βを定数として f=e~αx,g=e~βx とおく。 fg=e~(α+β)xより (fg)~(n)=(α+β)~n*e~(α+β)x また f~(n-k)g~(k)=(e~αx)~(n-k)*(e~βx)~(k) =α~(n-k)β~k*e~(α+β)x これらを①に代入してe~(α+β)xで割ると (α+β)~n=C0α~n+C1α~(n-1)β+…+Ckα~(n-k)β~k+…+Cnβ~(n) が任意の実数α,βに対して成り立つことになる。 これは二項定理そのものである。 よって題意が満たされた。 ②f=e~3x,g=x~3と考えて、(*)を適用すれば g~(n)≡0 (n≧0)だから あとは計算するだけです。