質問＜２４２９＞２００５／６／２９
from=JB
「微分」

①関数f,gがn回微分できるとき
　　
   (fg)^(n) =∑  n  nCk f^(n)g^(n-k) ・・・(*)
                k=0
　を示せ。

②(*)を用いてf(x)=x^3 e^3x　のn次導関数を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／７／１２
from=主夫

ここって結構同じ道を志す人多いんですね。
正しいか自信はありませんが、私なりの解答が参考になれば幸いです。
ちなみにいろんな本をかき集めて作りました。

①
(fg)~(n)はf,g両者あわせての微分の回数がnとなる項f~(n-k)g~(k)を
集めたものである。
つまりnを固定したときしかるべき係数Ｃ0,Ｃ1,…Ｃnを用いて
(fg)~n=Ｃ0f~(n)g+Ｃ1f~(n-1)+…+Ｃkf~(n-k)+…+Ｃnfg~(n)　…①
と表すことが出来る。この式のＣ0,Ｃ1,…Ｃnを求めればよい。
ここでα,βを定数として
f=e~αx,g=e~βx　とおく。
fg=e~(α+β)xより
(fg)~(n)=(α+β)~n*e~(α+β)x
また
f~(n-k)g~(k)=(e~αx)~(n-k)*(e~βx)~(k)
            =α~(n-k)β~k*e~(α+β)x
これらを①に代入してe~(α+β)xで割ると
(α+β)~n=Ｃ0α~n+Ｃ1α~(n-1)β+…+Ｃkα~(n-k)β~k+…+Ｃnβ~(n)
が任意の実数α,βに対して成り立つことになる。
これは二項定理そのものである。
よって題意が満たされた。

②f=e~3x,g=x~3と考えて、(*)を適用すれば
g~(n)≡0 (n≧0)だから
あとは計算するだけです。