質問<2438>2005/7/3
2つの複素数Z1,Z2(Z1≠0,Z2≠0)について、 Z1^2 +Z1Z2+Z2^2 =0 が成り立つとき、 ①複素数平面上において、 原点をOとし、Z1,Z2をあらわす点をそれぞれP,Qとするとき、 ∠PORの大きさを求めよ。 ②|Z1|=2とするとき、|Z1-Z2|の値を求めよ。 ★希望★完全解答★
お便り2005/7/7
from=juin
(z1)^2+z1z2+(z2)^2=0の両辺を(z1)^2で割る。 1+z2/z1+(z2/z1)^2=0ここで、w=z2/z1とおくと 1+w+w^2=0だから、w=exp(2πi/3) ∠POQ=2π/3 |z1|=2のとき、|z2|=|wz1|=2 PQの中点をMとすると、 △OPQはOが直角となる、 直角三角形だから、PM=√3,PQ=2√3
お便り2005/7/7
from=wakky
∠PORは∠POQの誤りと思われます。 ① Z1^2+Z1Z2+Z2^2=0・・* Z1≠0,Z2≠0だから *の両辺をZ2^2で割ると (Z1/Z2)^2+(Z1/Z2)+1=0 Z1/Z2=tとおいて方程式を解くと t=(-1±√3・i)/2 よって Z1/Z2=(-1±√3・i)/2=cos(±120°)+i・sin(±120°) arg(Z1/Z2)=arg(Z1)-arg(Z2)=±120°だから ∠POQの大きさは120°・・・(答) ② ①より|Z1/Z2|=|Z1|/|Z2|=1 |Z1|=2より|Z2|=2 |Z1-Z2|=|Z2(Z1/Z2-1)|=|Z2||(Z1/Z2)-1| =2|{(-1±√3・i)/2}-1|=2√3・・・(答) あるいは |Z1|=|Z2|=2 ∠POQ=120°から 余弦定理を利用してもよさそうです。