質問<244>2000/3/27
数列の問題に出てくる「! 」マークの性質が分かりません。教えてください。 ちなみに問題は nを自然数とするとき 1+2・2!+3・3!+・・・・+n・n! =(n+1)!-1 を証明 せよ。です。 先生のホームぺージにいったのですが、うまくアクセスできませんでした。 質問を書き込むコーナーヘ行くボタンが画面に現われず、代わりに上のほうに小 さな赤い指差しマークがでてきて、そこをクリックするとかならずトップページ に戻ってしまいました。わたしのコンピューターがおかしいのでしょうか?
お返事2000/3/28
from=武田
!マークは次のような積を表します。「階乗」と読みます。 5!=5×4×3×2×1 n!=n(n-1)(n-2)……3・2・1 nを自然数とするとき 1+2・2!+3・3!+・・・・+n・n! =(n+1)!-1 を証明 せよ。問題の与式を数学的帰納法で解いてみましょう。 (1)n=1のとき、 左辺=1・1!=1 右辺=(1+1)!-1=2!-1=2・1-1=2-1=1 ∴左辺=右辺 (2)n=kのとき、1+2・2!+3・3!+・・・・+k・k! =(k+1)!-1 が成り立つと仮定して、 n=k+1のとき成り立つことを証明すると、 左辺=1+2・2!+3・3!+・・・・+k・k!+(k+1)・(k+1)! ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ =(k+1)!-1+(k+1)・(k+1)! ^^^^^^^^^^^^^^^^ =(k+1)!(1+k+1)-1 =(k+1)!(k+2)-1 =(k+2)!-1 右辺={(k+1)+1}!-1 =(k+2)!-1 ∴左辺=右辺 (1)(2)より、すべての自然数nに対して、与式は成り立つ。 (追伸)画面のボタン式メニューは、マイクロソフト社のインターネット・ エクスプローラでないと見れないようです。ネットスケープを利用 の方のために、不思議な顔マークなどを入れましたので、押してみ てください。