質問<2457>2005/7/13
lim X→0 cos(1/x) の 極限値を教えて下さい。 ある参考書では不定となっておりましたが、 どうしてそのようになるのかわかりません。 詳しく教えていただければ幸いです。 ★希望★完全解答★
お便り2005/7/14
from=ほえほえ
この問題は「lim x→∞ cos(x)の極限値はいくつ?」と同じ。 要するに、「cos(∞)の値はいくつ?」ってこと。 (ここまではいいよね?) ∞ってのは、0とか1とかのようにビシっと決まった値じゃなくって、 「なんでもいいから大きい値をあてはめろ」という抽象的な意味なんだ。 よって、問題は「cos(なんでもいいから大きい値)の値はいくつ?」と 書き換えることができるわけだ。 さて、cos(x)は周期関数だから、xが大きいところでも xが小さいところでも挙動は同じだよね。 さらに問題は整理できて、「cos(なんでもいい)の値はいくつ?」となる。 これの答えは、「-1から1までのどれか」としか答えようがない。 よって「不定」。 #以上は高校生向けな答え。大学生向けには、極限に近づくときの #近づき方の違いで説明したほうが良いかな。
お便り2005/7/15
from=juin
x=1/(2nπ) n=1,2,...という部分列を考える。 cos(1/x)=cos(2nπ)=1だからlim(cos(1/x))=1 x=1/{(2n+1)π} n=1,2,...という部分列を考える。 cos(1/x)=cos((2n+1)π)=-1だからlim(cos(1/x))=-1 任意のa(-1<a<1)に対して、適当な部分列をとれば lim(cos(1/x))=aとできるから不定である。