質問<2465>2005/7/18
∬tan^(-1)x/ydxdy {x^2+y^2≦a^2 {x≧0 {y≧0 この二重積分を極座標に変換して求めるのですが どうしてもわかりません。 特に、0≦θ<π/2でtan^(-1)Xを積分してみてもうまく いきません。 ★希望★完全解答★
お便り2005/7/18
from=juin
∬tan^(-1)(x/y)dxdyと解釈します。 x=r*cos(t),y=r*sin(t)とすると、 x/y=r*cos(t)/{r*sin(t)} =-tan(t+π/2)=tan{-(t+π/2)} だから、積分は ∬tan^(-1)[tan{-(t+π/2)}]rdrdt =∬[π-(t+π/2)]rdrdt =∫(π/2-t)dt∫rdr =(3π^2/8)(a^2/2) =3a^2*π^2/16