質問<2479>2005/7/21
Xはn次正方行列全体とします。 A,B∈Xに対して A_B:⇔正則行列Pが存在して,A=PBP^-1 _が同値関係であることを示せ。 ★希望★完全解答★
お便り2005/7/29
from=UnderBird
(1)A_A (2)A_B ならば B_A (3)A_B かつ B_C ならば A_C を証明する。 (1)Pとして単位行列Eがとれる A=EAE^(-1) (2)A_B より正則行列Pが存在し、A=PBP^(-1)だから、 右からP左からP^(-1)をかけて、P^(-1)AP=B これは、P^(-1)A{P^(-1)}^(-1) より、B_Aを示している。 (3)仮定より、正則行列P,Qが存在し、 A=PBP^(-1)、B=QCQ^(-1) だから、 A=P{QCQ^(-1)}P^(-1)=(PQ)C(PQ)^(-1) よって、A_C