質問＜２４８７＞２００５／７／２４
from=しゃれやま
「基本的な極限の証明」

lim(n→∞)n^r
r＞0　のとき　∞　を証明しなさい。

なぜ無限になるかはわかるんですけど、
具体的な証明がわかりません。

★希望★完全解答★

お便り２００５／７／２６
from=wakky

ｒ＝１のとき ｎ^r＝ｎ→∞ より明らか。

ｒ＞１のとき
ｎ＜ｎ^r で ｎ→∞ だから ｎ^r→∞

０＜ｒ＜１のとき
ｈ＝１／ｒとおくと ｈ＞１
関数 ｙ＝ｘ^hはｘ＞０で単調増加
すなわち∞に発散する
ｙ^(1/h)＝ｘだから
ｙ＝ｘ^(1/h)＝ｘ^rはｙ＝ｘ^hの逆関数で
やはり単調増加であり∞に発散する。
ｙ＝ｘ^hにおいて ｙ＝ｎとなるｘの値をＡ(n)とすると
ｎ^r＝ｎ^(1/h)＝Ａ(n)→∞