質問＜２５０３＞２００５／８／１
from=アオ
「指数対数の問題」

正の整数m,nが
3^m + 117^2= n^2
を満たしている。m,nを求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／８／３
from=苦労人

3^m+117^2=n^2
3^m+(3^2*13)^2=n^2
3^m+(3^4)(13^2)=n^2
3^4{3^(m-4)+13^2}=n^2
3^(m-4)+13^2=g^2とすると
3^(m-4)=g^2-13^2
log_3{3^(m-4)}=log_3(g^2-13^2)…log_3は底を3とするlogです。
m-4=log_3(g^2-13^2)
m=log_3(g^2-13^2)+4
log_3(g^2-13^2)>-4が成り立ち、整数ある。
よって3^fで表すと
g^2-13^2=3^f
gに13より大きな整数を入れる←適当に
g=14とすると
14^2-13^2=196-169=27=3^f←たまたま当たった
となり、fが3であることがわかる。これより
m=log_3(3^3)+4
m=3+4
m=7
よって
3^4{3^3+13^2}=n^2
3^4*14^2=n^2
∴n=3^2*14=126
3^m+117^2をそのまま計算して考えると大変なので
対数を使って簡単にしてやります。

お便り２００５／９／８
from=corn

(与式) ⇔ 3^m = (n-117)(n+117) より、n-117, n+117 は
ともに3の冪。