質問<2503>2005/8/1
正の整数m,nが 3^m + 117^2= n^2 を満たしている。m,nを求めよ。 ★希望★完全解答★
お便り2005/8/3
from=苦労人
3^m+117^2=n^2 3^m+(3^2*13)^2=n^2 3^m+(3^4)(13^2)=n^2 3^4{3^(m-4)+13^2}=n^2 3^(m-4)+13^2=g^2とすると 3^(m-4)=g^2-13^2 log_3{3^(m-4)}=log_3(g^2-13^2)…log_3は底を3とするlogです。 m-4=log_3(g^2-13^2) m=log_3(g^2-13^2)+4 log_3(g^2-13^2)>-4が成り立ち、整数ある。 よって3^fで表すと g^2-13^2=3^f gに13より大きな整数を入れる←適当に g=14とすると 14^2-13^2=196-169=27=3^f←たまたま当たった となり、fが3であることがわかる。これより m=log_3(3^3)+4 m=3+4 m=7 よって 3^4{3^3+13^2}=n^2 3^4*14^2=n^2 ∴n=3^2*14=126 3^m+117^2をそのまま計算して考えると大変なので 対数を使って簡単にしてやります。
お便り2005/9/8
from=corn
(与式) ⇔ 3^m = (n-117)(n+117) より、n-117, n+117 は ともに3の冪。