質問＜２５１＞２０００／４／２３
from=Minako
「二項係数」

問題　Σの2n C 2k-1 のk=1からnまでを求めよ。

答えが本に載っているのですが
またまた途中の計算がわかりません。
教えてください。
前回の解答すごくよくわかりました。
ありがとうございました。

お返事２０００／４／２４
from=武田

二項定理をΣでまとめると、
　　　　　　　　　　　　2n
ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ）2n＝Σ　2nＣr ｘr 
　　　　　　　　　　　　r=0
となる。
　　　　　　　　2n
ｆ（１）＝２2n＝Σ　2nＣr 
　　　　　　　　r=0
　　　　　　　＝2nＣ0 ＋2nＣ1 ＋2nＣ2 ＋……＋2nＣ2n-1＋2nＣ2n　

　　　　　　　＝（2nＣ0 ＋2nＣ2 ＋……＋2nＣ2n）＋（2nＣ1 ＋2nＣ3 ＋……＋2nＣ2n-1）　
　　　　　　　　n 　　　　　n 
　　　　　　　＝Σ　2nＣ2k＋Σ　2nＣ2k-1
　　　　　　　　k=0　　　　 k=1

　　　　　　　　　　　2n
ｆ（－１）＝０2n＝０＝Σ　2nＣr （－１）r 
　　　　　　　　　　　r=0
　　　　　　　＝2nＣ0 －2nＣ1 ＋2nＣ2 －……－2nＣ2n-1＋2nＣ2n　

　　　　　　　＝（2nＣ0 ＋2nＣ2 ＋……＋2nＣ2n）－（2nＣ1 ＋2nＣ3 ＋……＋2nＣ2n-1）　
　　　　　　　　n 　　　　　n 
　　　　　　　＝Σ　2nＣ2k－Σ　2nＣ2k-1
　　　　　　　　k=0　　　　 k=1
ｆ（１）－ｆ（－１）＝２2n－０＝２2n
　　　　　　　　　n 　　　　　n 　　　　　　　　n 　　　　　n 
　　　　　　　＝（Σ　2nＣ2k＋Σ　2nＣ2k-1）－（Σ　2nＣ2k－Σ　2nＣ2k-1）
　　　　　　　　　k=0　　　　k=1　　　　　　　k=0　　　　 k=1
　　　　　　　　　n 
　　　　　　　＝２Σ　2nＣ2k-1
　　　　　　　　　k=1
したがって、
n 
Σ　2nＣ2k-1＝２2n÷２＝２2n-1……（答）
k=1