質問＜２５２０＞２００５／８／１３
from=ききらら
「関係～」

高校数学ではありませんが、どうかおしえていただけませんか。

Ｚの２元ａ，ｂの間に、
a～b⇔「aとbを７で割ったときそれぞれのあまりが等しい」という関係を
いれる。また、k=1,2,3,4,5,6に対し、集合{x|x～k}をc(k)とあらわすこと
にする。
①関係～は同値関係であることを示せ。また、c(0),c(1),c(2)....c(6)は
Ｚの類別であることを示せ。

②集合{c(0),c(1),c(2)...,c(6)}にc(a)c(b)=c(ab)によって乗法を定義する。
（Ａ）この乗法の定義は代表元のとり方によらないことを示せ。
（Ｂ）k=1,2,3,4,5,6に対し、c(k)c(x)=c(1)を満たすxは、一意に定まること
　　　を示せ。

という問題で、
②（Ｂ）の解答を
c(k)c(x)=c(1)を満たすxをa,bとすると
c(k)c(a)=c(k)c(b)=c(1)
である。これを用いてc(a)を変形すると
c(a)=c(1.a)=c(1)c(a)
={c(k)c(b)}c(a)
=c(b){c(k)c(a)}
=c(b)c(1)
=c(1)
となり、c(a)=c(b)である。
いま、乗法は集合{c(0),c(1),...,(c(6)}に定義されているのでxは0以上6以下
の整数で、これらは互いに素であるので、a=bである。したがって、xは一意
に定まる。

と解答したところ、一意性はＯＫ。存在は？とコメントされました。存在性は
どのように示せばよいのでしょうか。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１０／３０
from=たなか

存在性を示す
C（１）C（１）＝C（１）
C（２）C（４）＝C（１）
C（３）C（５）＝C（１）
C（４）C（２）＝C（１）
C（５）C（３）＝C（１）
C（６）C（６）＝C（１）