質問＜２５８１＞２００５／９／９
from=遥
「４次方程式」

4次方程式（x-1)(x+2)(x^2 +2kx -k+2)=0がある。
これが異なる4つの整数解をもつときのkの値を求めよ。
また、このとき異なる4つの整数解を小さい順に示せ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／９／１４
from=UnderBird

x^2+2kx-k+2=0 の２つの異なる整数解をα、β（α＜β）とすると、
解と係数の関係から
α＋β=-2k ，αβ=-k+2
この2式からkを消去して変形すると
(2α-1)(2β-1)=0 で、2α-1，2β-1は整数で、2α-1＜2β-1に考慮すると
(2α-1，2β-1)=(1,9),(-9,-1)で
(α,β)=(1,5),(-4,0)を得るが初めの解の組は題意を満たさないので、
結局4つの異なる整数解は小さい順に
x=-4,-2,0,1
k=2