質問

A　pを素数とするとき、1/m+1/n=1/pを満たす自然数m,nをすべて求めよ。
（m,nの組み合わせについてそれぞれpを使ってあらわせばよい）

B　1/m+1/n＜1/5を満たす自然数m,nに対して1/m+1/nの最大値を求めよ。

の二問がわかる方がいらっしゃればお教えいただけませんでしょうか。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／１
from=たなか

(A)
1/n+1/m=1/pの式を変形すると、n+m=(nm)/pとなる。
ここで、pは素数であるからn,mの少なくとも一方は、pの整数倍である。
n=kpとする。
最初の式に代入すると、1/kp+1/m=1/p
従って、1/m=1/p-1/kp=(k-1)/kpとなり、
m=(kp)/(k-1)=p+(p/(k-1))
ところで、pは整数であり、mは自然数であるから、k-1=1,または、p
従って、k=2,または、k=p+1
k=2のとき、（n,m）=（2p,2p）の組は条件を満たす。
k=p+1のとき、（n,m）=（(p+1)p,p+1）の組は条件を満たす。

(B）
(A)より、1/n+1/m=1/5となるポイントは、（1/10,1/10）と（1/30,1/6）と
なります。各ポイントを１つだけ、横あるいは縦に移動した値を調べれば、
最大値がわかります。
すなわち1/11+1/10,1/31+1/6,1/30+1/7のなかで、最大値を見つければよいと
いうことになります。どれが、おおきいかは、各自調べてみてください。