質問＜２６２０＞２００５／１０／１２
from=名無し
「極限の問題」

次の極限値を求めよ。
（１）
         2√(1+x) -ｘ-2
lim[x→0]―――――――――
　　　　　　　　x^2

（２）
①lim[x→0]tan^-1(1/x^2)

②lim[x→∞]ｘtan^-1(1/x)

を教えてください。宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１０／３０
from=juin

(1)分子を有理化する。
{2√(1+x)-(x+2)}{2√(1+x)+(x+2}}/{x^2*[2√(1+x)+(x+2)}
=-x^2/{x^2*[2√(1+x)+(x+2)]}
=-1/{2√(1+x)+(x+2)}→-1/4(as x→0)

(2)
①1/x=tとおく。
tan^(-1)(t^2)→π/2(as t→∞)

②1/x=tとおく。
(1/t)tan^(-1)(t)={tan^(-1)(t)-tan^(-1)(0)}/t
これは、tan^(-1)(t)のt=0での微分係数である。
1/(1+t^2)へ、t=0を代入して、1となる。