質問<2633>2005/10/18
こんにちは。解らない問題があるので教えてください。お願いします。 座標平面上に2点A(4、10),B(8、4)がある。 点Pが3点(2,-1)、(-2、3),(4,3+2√3)を通る円の周上を動くとき、 △PABの重心Gの軌跡を求めよ。 ★希望★完全解答★
お返事2005/10/18
from=武田
円の方程式を(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 とおくと、 (2,-1)を通から、(2-a)^2+(-1-b)^2=r^2………① (-2,3)を通から、(-2-a)^2+(3-b)^2=r^2………② (4,3+2√3)を通から、 (4-a)^2+(3+2√3-b)^2=r^2………③ ①②③を連立して、 ①-②より、 (2-a+2+a)(2-a-2-a)+(-1-b-3+b)(-1-b+3-b)=0 4(4-2a)-4(2-2b)=0 16-8a-8+8b=0 8a-8b=8 a-b=1………④ ②-③より、 (-2-a-4+a)(-2-a+4-a)+(3-b-3-2√3+b)(3-b+3+2√3-b)=0 -6(2-2a)-2√3(6+2√3-2b)=0 -12+12a-12√3-12+4√3b=0 12a+4√3b=24+12√3 3a+√3b=6+3√3………⑤ ④×√3+⑤より、 (3+√3)a=6+4√3 6+4√3 (6+4√3)(3-√3) 18+6√3-12 6+6√3 a=―――――=――――――――=――――――――――=―――――― 3+√3 9-3 6 6 =1+√3………⑥ ⑥を④に代入して、 (1+√3)-b=1 ∴b=√3………⑦ ⑥⑦を①に代入して、 r^2=(2-1-√3)^2+(-1-√3)^2 =(1-√3)^2+(-1-√3)^2 =1-2√3+3+1+2√3+3 =8 ∴r=2√2 したがって、 円の方程式は (x-1-√3)^2+(y-√3)^2=8 座標平面上に2点A(4、10),B(8、4)と点P(x,y)を頂点とした△PAB の重心G(xg,yg)は、重心の公式から、 4+8+x 12+x xg=――――――=――――― 3 3 10+4+y 14+y yg=―――――――=――――― 3 3 変形して、 x=3xg-12 y=3yg-14 これを上の円の方程式に代入して、 (3xg-12-1-√3)^2+(3yg-14-√3)^2=8 軌跡の方程式を出すためにxg,ygをx,yとして、 (3x-13-√3)^2+(3y-14-√3)^2=8 両辺を9で割って、 13+√3 14+√3 8 (x-――――――)^2+(y-――――――)^2=― 3 3 9 したがって、 重心Gの軌跡は、 中心 13+√3 14+√3 (――――――,――――――) 3 3 半径 2√2 ――― 3 の円となる。