質問＜２６３３＞２００５／１０／１８
from=りか
「軌跡」

こんにちは。解らない問題があるので教えてください。お願いします。

座標平面上に2点A(4、10)，B(8、4)がある。
点Pが3点(2,-1)、(-2、3)，（4，3+2√3）を通る円の周上を動くとき、
△PABの重心Gの軌跡を求めよ。

★希望★完全解答★

お返事２００５／１０／１８
from=武田

円の方程式を（ｘ－ａ）^2＋（ｙ－ｂ）^2＝ｒ^2　とおくと、
（２，－１）を通から、（２－ａ）^2＋（－１－ｂ）^2＝ｒ^2………①
（－２，３）を通から、（－２－ａ）^2＋（３－ｂ）^2＝ｒ^2………②
（４，３＋２√３）を通から、
　　　　　　　　（４－ａ）^2＋（３＋２√３－ｂ）^2＝ｒ^2………③

①②③を連立して、
①－②より、
(2-a+2+a)(2-a-2-a)+(-1-b-3+b)(-1-b+3-b)=0
４（４－２ａ）－４（２－２ｂ）＝０
１６－８ａ－８＋８ｂ＝０
８ａ－８ｂ＝８
ａ－ｂ＝１………④

②－③より、
(-2-a-4+a)(-2-a+4-a)+(3-b-3-2√3+b)(3-b+3+2√3-b)=0
－６（２－２ａ）－２√３（６＋２√３－２ｂ）＝０
－１２＋１２ａ－１２√３－１２＋４√３ｂ＝０
１２ａ＋４√３ｂ＝２４＋１２√３
３ａ＋√３ｂ＝６＋３√３………⑤

④×√３＋⑤より、
（３＋√３）ａ＝６＋４√３

　　６＋４√３　(6+4√3)(3-√3)　　１８＋６√３－１２　　６＋６√３
ａ＝―――――＝――――――――＝――――――――――＝――――――
　　３＋√３　　　　９－３　　　　　　　６　　　　　　　　　６

　＝１＋√３………⑥

⑥を④に代入して、
（１＋√３）－ｂ＝１
∴ｂ＝√３………⑦

⑥⑦を①に代入して、
ｒ^2＝（２－１－√３）^2＋（－１－√３）^2
　　＝（１－√３）^2＋（－１－√３）^2
　　＝１－２√３＋３＋１＋２√３＋３
　　＝８
∴ｒ＝２√２

したがって、
円の方程式は
（ｘ－１－√３）^2＋（ｙ－√３）^2＝８

座標平面上に2点A(4、10)，B(8、4)と点Ｐ（ｘ，ｙ）を頂点とした△ＰＡＢ
の重心Ｇ（ｘg，ｙg）は、重心の公式から、
　　　４＋８＋ｘ　　１２＋ｘ
ｘg＝――――――＝―――――
　　　　　３　　　　　３

　　　１０＋４＋ｙ　　１４＋ｙ
ｙg＝―――――――＝―――――
　　　　　３　　　　　　３

変形して、
ｘ＝３ｘg－１２
ｙ＝３ｙg－１４

これを上の円の方程式に代入して、
（３ｘg－１２－１－√３）^2＋（３ｙg－１４－√３）^2＝８
軌跡の方程式を出すためにｘg，ｙgをｘ，ｙとして、
（３ｘ－１３－√３）^2＋（３ｙ－１４－√３）^2＝８
両辺を９で割って、
　　　１３＋√３　　　　　　　１４＋√３　　　　８
（ｘ－――――――）^2＋（ｙ－――――――）^2＝―
　　　　　３　　　　　　　　　　　３　　　　　　９

したがって、
重心Ｇの軌跡は、

中心
　１３＋√３　　１４＋√３
（――――――，――――――）
　　　３　　　　　　３
半径
２√２
―――
　３
の円となる。