質問

〔１〕黒色の玉が３個，黄色の玉が球３個，青色の玉
　　　が２個の合計８個の玉があり、全ての玉を円形
　　　に並べる。

① 青色の玉が隣り合い、同時に黄色の玉３個のうち２
　 個だけが隣り合う並べ方を求めなさい。

② 円順列は全部で何通りあるか求めなさい。

〔２〕６分割された円に、ａ，ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅの
　　　５色で塗り分けるとする。（ａは２か所に塗る
　　　とする）このときの塗り分け方は、何通りあり
　　　ますか。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／１６
from=けんさん

〔1〕
①青玉２個を基準にとり、残り黄色3個と黒3個を並べると
６！／（３！×３！）＝２０通り
このうち黄色と黒が交互になるのは黄・黒・黄・・と黒・黄・黒・・の2通り、
黄色が3つとも隣り合うのは４！／３！＝４通りなので
２０－２－４＝１４通り・・・（答）

②青玉1個を基準にとると残りの並べ方は
７！／（３！×３）＝１４０通り。
このうち、例えば時計回りに基準青・黄・青・黄・黄・黒・黒・黒
と基準青・黄・黄・黒・黒・黒・青・黄のように回転すると同じになるものが
必ず存在する。
（回転しても同じにならないのは左右対称のものだが、
この問題の場合は存在しない。）
よって１４０／２＝７０通り・・・（答）

〔２〕
「塗り分ける」だからaが隣り合ってはいけないのかな？そう考えて答えますね。
　ｂを基準にとると、残りの並べ方は５！／２！＝60通り。
このうちaが隣り合うのは４！＝２４通りなので
６０－２４＝３６通り・・・（答）

※同じものを含む円順列の場合、普通の入試などでは基準になる玉が一つ
入っていて、考えやすいようになっています。〔１〕の①は青2個が基準に
できるのであとは普通の順列と同じように考えていけます。〔１〕の②は
玉の数を減らして実際に書いてみるとよくわかると思います。
〔２〕はa以外を基準に取ったほうが考えやすいでしょう。

お便り２００６／２／２３
from=／で

[１]の①で、けんさんの解答例だと、

　　○、×、○、×、×、○
と
　　○、×、×、○、×、○

の引き忘れがあります。（○：黄、×：黒）

引くパターンの数え漏れを起こし易い問題に感じますので、
最初から、６個の枠で黄色が２個連続する並びを順に動かして、
３個並ばないパターンを全部書き出して数え上げてみました。

　１２３４５６
　○○×○××　　　　　１、２番目にある場合　３パターン
　○○××○×　　　　　
　○○×××○
　×○○×○×　　　　　２、３番目にある場合　２パターン
　×○○××○
　××○○×○　　　　　３、４番目にある場合　２パターン
　○×○○××
　○××○○×　　　　　４、５番目にある場合　２パターン
　×○×○○×
　○×××○○　　　　　５、６番目にある場合　３パターン
　×○××○○
　××○×○○

以上、１２通り