質問<2668>2005/11/6
〔1〕黒色の玉が3個,黄色の玉が球3個,青色の玉 が2個の合計8個の玉があり、全ての玉を円形 に並べる。 ① 青色の玉が隣り合い、同時に黄色の玉3個のうち2 個だけが隣り合う並べ方を求めなさい。 ② 円順列は全部で何通りあるか求めなさい。 〔2〕6分割された円に、a,a,b,c,d,eの 5色で塗り分けるとする。(aは2か所に塗る とする)このときの塗り分け方は、何通りあり ますか。 ★希望★完全解答★
お便り2005/11/16
from=けんさん
〔1〕 ①青玉2個を基準にとり、残り黄色3個と黒3個を並べると 6!/(3!×3!)=20通り このうち黄色と黒が交互になるのは黄・黒・黄・・と黒・黄・黒・・の2通り、 黄色が3つとも隣り合うのは4!/3!=4通りなので 20-2-4=14通り・・・(答) ②青玉1個を基準にとると残りの並べ方は 7!/(3!×3)=140通り。 このうち、例えば時計回りに基準青・黄・青・黄・黄・黒・黒・黒 と基準青・黄・黄・黒・黒・黒・青・黄のように回転すると同じになるものが 必ず存在する。 (回転しても同じにならないのは左右対称のものだが、 この問題の場合は存在しない。) よって140/2=70通り・・・(答) 〔2〕 「塗り分ける」だからaが隣り合ってはいけないのかな?そう考えて答えますね。 bを基準にとると、残りの並べ方は5!/2!=60通り。 このうちaが隣り合うのは4!=24通りなので 60-24=36通り・・・(答) ※同じものを含む円順列の場合、普通の入試などでは基準になる玉が一つ 入っていて、考えやすいようになっています。〔1〕の①は青2個が基準に できるのであとは普通の順列と同じように考えていけます。〔1〕の②は 玉の数を減らして実際に書いてみるとよくわかると思います。 〔2〕はa以外を基準に取ったほうが考えやすいでしょう。
お便り2006/2/23
from=/で
[1]の①で、けんさんの解答例だと、 ○、×、○、×、×、○ と ○、×、×、○、×、○ の引き忘れがあります。(○:黄、×:黒) 引くパターンの数え漏れを起こし易い問題に感じますので、 最初から、6個の枠で黄色が2個連続する並びを順に動かして、 3個並ばないパターンを全部書き出して数え上げてみました。 123456 ○○×○×× 1、2番目にある場合 3パターン ○○××○× ○○×××○ ×○○×○× 2、3番目にある場合 2パターン ×○○××○ ××○○×○ 3、4番目にある場合 2パターン ○×○○×× ○××○○× 4、5番目にある場合 2パターン ×○×○○× ○×××○○ 5、6番目にある場合 3パターン ×○××○○ ××○×○○ 以上、12通り