質問＜２６９３＞２００５／１１／１５
from=真里
「ベクトル」

平面上の△ABCにおいて、
AB→・BC→＝BC→・CA→＝CA→・AB→が成立するとき、
△ABCは正三角形であることを示せ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１１／１７
from=UnderBird

AB→とAC→で等式を表す。
又、AB→とAC→のなす角をθとする。
AB→をa,AC→をbと略記する。

a・(b-a)=(b-a)・(-b)=(-b)・a より
第1,2式から、|a|^2=|b|^2を得るので、
|a|=|b| ･･･①
すなわち、|AB→|=|AC→|
また、第2,3式から
2a・b=b・b
2|a||b|cosθ=|b|^2
①利用で
cosθ=1/2
θ=60°･･･②
①②から三角形ABCは正三角形

お便り２００５／１１／１７
from=wakky

ベクトルを表す→は省略します。
ＡＢ＝ａ、ＡＣ＝ｃとします。
このとき
ＢＣ＝ｃ－ｂ、ＣＡ＝－ｃ
ＡＢ・ＢＣ＝ＢＣ・ＣＡ＝ＣＡ・ＡＢより
ｂ・（ｃ－ｂ）＝（ｃ－ｂ）・（－ｃ）＝（－ｃ）・ｂ
ｂ・ｃ－｜ｂ｜^2＝－｜ｃ｜^2＋ｂ・ｃ＝－ｂ・ｃ
よって
｜ｂ｜^2＝｜ｃ｜^2＝２ｂ・ｃ・・・①
｜ｂ－ｃ｜^2＝｜ｂ｜^2－２ｂ・ｃ＋｜ｃ｜^2
①より
｜ｂ－ｃ｜^2＝｜ｂ｜^2－｜ｃ｜^2＋｜ｃ｜^2
　　　　　　＝｜ｂ｜^2
すなわち
｜ｂ｜^2＝｜ｃ｜^2＝｜ｂ－ｃ｜^2
したがって
｜ｂ｜＝｜ｃ｜＝｜ｂ－ｃ｜
これは、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡでありことをしてしており
△ＡＢＣは正三角形である。

（別解）
①より
｜ｂ｜^2＝｜ｃ｜^2・・・②　かつ　｜ｃ｜^2＝２ｂ・ｃ・・・③
②より　｜ｂ｜＝｜ｃ｜
③より
｜ｃ｜^2＝２｜ｂ｜｜ｃ｜ｃｏｓ∠Ａ＝２｜ｃ｜^2ｃｏｓ∠Ａ
｜ｃ｜＞０より　ｃｏｓ∠Ａ＝１／２
０°＜∠Ａ＜１８０°より
∠Ａ＝６０°
以上から
ＡＢ＝ＡＣ、∠Ａ＝６０°なので
△ＡＢＣは正三角形である。