質問<272>2000/6/15
いつも、お世話になってます。よろしくお願いします。 方程式、X3乗-3X2乗+aX+b=0…①の解の1つが、 1-2iであるとき、実数a,bの値を求めよ。また、他の解を求めよ。 この問題の途中で、①の左辺はX2乗ー2X+5=0で割り切れる。 ←何故そうなるのかわかりません。 あとこの後、余りは(a-7)X+b+5 これが0だから、(a-7)=0 b+5=0 となる。何故、(a-7)=0 b+5=0になるのかわかりません。 どうぞ、解答の方よろしくお願いします。
お返事2000/6/16
from=武田
x3 -3x2 +ax+b=0の1つの解が1-2iだから、 x=1-2iより、 x-1=-2i 両辺を2乗して (x-1)2 =(-2i)2 x2 -2x+1=4i2 i2 =-1より、 x2 -2x+1=-4 x2 -2x+1+4=0 x2 -2x+5=0 この2次方程式の解は、問題の3次方程式の解ともなる。 x=-(-1)±√(1-5)=1±2i よって、もう1つの解は1+2iとなる。……(答) 3番目の解は、問題の3次方程式を、この2次方程式で割って、因数分解して 求められる。 x -1 ________________ x2 -2x+5)x3 -3x2 +ax +b x3 -2x2 +5x ─────────────── -x2 +(a-5)x+b -x2 + 2x -5 ───────────── (a-7)x+b+5 因数分解できるのは、この割り算の余りが0となるときだから、 (a-7)x+b+5=0 すべてのxについてこれが成り立つのは、xの係数と定数項が同時に0となる ときだから、 {a-7=0 {b+5=0 ∴a=7,b=-5……(答) 因数分解して、 x3 -3x2 +ax+b=(x2 -2x+5)(x-1)=0 3番目の解はx-1=0より、 ∴x=1……(答)