質問＜２７９１＞２００５／１２／２８
from=yasu
「写像」

（２）①　Ａを有限集合とするとき、次の条件１°）
　　　　　２°）を満たす写像ｆ：Ａ→Ａは、全単射
　　　　　であることを示せ。
　　　１°）ｆは単射。
　　　２°）ｆは全射。

　　　②　写像ｆ：Ｒ＾２→Ｒ＾２，ｆ(ｘ，ｙ)＝
　　　　　(ax+by,cx+dy)が全単射となるための必要
　　　　　条件を求めよ。ただしa,b,c,d∈Ｒとする。

　　　③　次の写像ｆに対し、A={(x,y)｜x^2+y^2＜1}
          の像f(A)を図示せよ。

　　　　　a　f:R^2→R^2,f(x,y)=(2x,3y)
          
          b　f:R^2→R^2,f(x,y)=(x+y,xy)

分かりにくいかもしれませんが、宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１／１２
from=Cononymous Award

 (1) 単射で全射なら全単射です。定義です。
 (2) 必要十分条件ですか?
     ( a b )
     ( c d ) が正則であること。
 (3) a. x**2 / 2 + y**2 / 3 ＜ 1.
     b. y = (x**2 - 1) / 2 と y = x**2 / 4 とで囲まれた領域。
        但し、境界は y = x**2 / 4 (-sqrt(2) ＜ x ＜ sqrt(2)) のみ含み、
        その他は含まず。

お便り２００６／９／９
from=KINO

Cononymous Award さんの回答に書かれた式が一部間違っていますので，
その訂正および詳解をつけたものを投稿させていただきます。

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R^2 は，ふたつの実数 x, y の組の集合です。
いわゆる xy 平面のことだと思って差し支えありません。

1，2 ではいずれも f が 平面上の点を平面上の他の点に写す写像として与えられて
います。
ですから，原点を中心とする単位円の内部 A の点を f で飛ばした先の点の集合 
f(A) がどういうものなのかを求めることが問題です。

1. f(x,y)=(X,Y) とおき，(x,y)∈A のとき X と Y の関係がどうなっているかを
調べます。
そうすると，X=2x，Y=3y ですから，x=X/2，y=Y/3 となり，x^2+y^2＜1 なので，
(X,Y) は (X/2)^2+(Y/3)^2＜1 をみたします。
これは楕円 (x/2)^2+(y/3)^2=1 の内部を表す不等式です。
楕円を表す方程式についてご存じないかもしれませんが，
それはご自分でお調べ下さい。

2. X=x+y, Y=xy とおくと，x^2+y^2=(x+y)^2-2xy より，X^2-2Y＜1 となります。
一方，x，y は実数ですから (x-y)^2≧0 です。
したがって，(x-y)^2=(x+y)^2-4xy より，X^2-4Y≧0 でなければなりません。
以上より，ふたつの放物線 y=(x^2-1)/2 と y=x^2/4 で囲まれた部分が
f による A の像 f(A) であることがわかりました。
正確には，y＞(x^2-1)/2 より y=(x^2-1)/2 のグラフの上側であり，
かつ y≦x^2/4 より y=x^2/4 上の点またはそれよりも下にあるような点です。
そしてこれらの交点 (±√2,1/2) はどちらも含みません。