質問＜２８３０＞２００６／１／８
from=ＨＹ
「積分」

①不定積分∫1／(cos^2x+4sin^2x)dx （t=tanxと置く）という問題
②定積分∫[1,∞]1/x(x^2+1)dx という問題
に困っています。

★希望★完全解答★

お返事２００６／１／９
from=武田

（１）
三角関数の相互関係を使って解くと良い。
cos^2ｘ＋sin^2ｘ＝１………①
両辺をcos^2ｘで割ると、
１＋tan^2ｘ＝１／cos^2ｘ
tanｘ＝ｔとおくと、
cos^2ｘ＝１／（１＋ｔ^2）
①に代入して、
１／（１＋ｔ^2）＋sin^2ｘ＝１
sin^2ｘ＝１－１／（１＋ｔ^2）＝ｔ^2／（１＋ｔ^2）………②

①と②を問題の分母に代入すると、
cos^2x+4sin^2x＝１／（１＋ｔ^2）＋４ｔ^2／（１＋ｔ^2）
　　　　　　　＝（１＋４ｔ^2）／（１＋ｔ^2）
したがって、
１／（cos^2x+4sin^2x）＝（１＋ｔ^2）／（１＋４ｔ^2）
また、
tanｘ＝ｔを微分して、
（１／cos^2ｘ）ｄｘ＝ｄｔ
ｄｘ＝cos^2ｘｄｔ＝１／（１＋ｔ^2）ｄｔ

準備ができたので解いてみよう。
∫1／(cos^2x+4sin^2x)dx

　　（１＋ｔ^2）　　　　　１
＝∫―――――――・――――――　ｄｔ
　　（１＋４ｔ^2）　（１＋ｔ^2）

　　　　　１
＝∫―――――――ｄｔ
　　（１＋４ｔ^2）

ｔ＝（１／２）tanθとおくと、
分母＝１＋４ｔ^2＝１＋tan^2θ＝１／cos^2θ
ｄｔ＝（１／２）（１／cos^2θ）ｄθ

したがって、
　　　　１　　　　　　　　　　　　　　１
∫―――――――ｄｔ＝∫cos^2θ・―――――ｄθ
　（１＋４ｔ^2）　　　　　　　　　２cos^2θ

＝∫（１／２）ｄθ＝（１／２）θ＋Ｃ
＝（１／２）tan^-1（２ｔ）＋Ｃ
＝（１／２）tan^-1（２tanｘ）＋Ｃ……（答）

（２）
∫[1,∞]1/x(x^2+1)dx＝lim∫[1,n]1/x(x^2+1)dx
　　　　　　　　　　　n→∞
まず、次を解くと、
　　　　　　　　　　　　１
∫1/x(x^2+1)dx＝∫―――――――ｄｘ
　　　　　　　　　ｘ（ｘ^2＋１）

　　　１　　　　　ｘ
＝∫（―　－　――――　）ｄｘ
　　　ｘ　　　ｘ^2＋１

　　　　　　　　１　　　　２ｘ
＝log｜ｘ｜－　――∫（―――――　）ｄｘ
　　　　　　　　２　　　ｘ^2＋１

＝log｜ｘ｜－（１／２）log（ｘ^2＋１）＋Ｃ

　　　　｜ｘ｜
＝log―――――――＋Ｃ……①
　　　√（ｘ^2＋１）

①を利用して、
　　　　　　　　　　　　　　　｜ｘ｜　　　ｎ
∫[1,n]1/x(x^2+1)dx＝［log―――――――］
　　　　　　　　　　　　　√（ｘ^2＋１）　１

　　　　　｜ｎ｜　　　　　　　１
＝log―――――――　－　log――
　　　√（ｎ^2＋１）　　　　√２

極限を考えて、
∫[1,∞]1/x(x^2+1)dx

　　　　　　　　｜ｎ｜　　　　　　　１
＝lim　｛log―――――――　－　log――　｝
　n→∞　　　√（ｎ^2＋１）　　　　√２

　　　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　１
＝lim　［log―――――――――――　－　log――　］
　n→∞　　　√｛１＋（１／ｎ^2）｝　　　　√２

＝log１－log（１／√２）
＝log√２
＝（１／２）log２……（答）