質問＜２８３６＞２００６／１／１１
from=marin
「二重積分」

つぎの二重積分を極座標に変換して求めよ。

∬D tan‐1(y/x)dxdy　←ｱｰｸﾀﾝｼﾞｪﾝﾄのつもりです…

Ｄ=｛x＾2+y＾2≦a＾2 , x≧0 , y≧0｝

何回やっても答えが合わないんです。
ちなみに答えはπ＾2a＾2/16 です。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１／１４
from=Cononymous Award

形式的に、
\arctan(y/x) = arctan(tan \theta) = \theta ,
\int \arctan(y/x) dxdy = \int r\theta drd\theta .

お便り２００６／１／１４
from=marin

１月１１日に質問して、１月１４日にＣnonymous Ａwardにアドバイスを
いただいたのですが、アドバイスでの記号の意味が分かりません。

お返事２００６／１／１４
from=武田

Cononymous Awardさんからは、たくさんのアドバイスをいただいております。
再質問がありましたので、私から解答させていただきます。

tan‐1　←ｱｰｸﾀﾝｼﾞｪﾝﾄ　は、arctan　と書くこともありますので、
問題は、tan‐1(y/x)＝arctan(y/x)となります。
極座標（ｒ，θ）を用いて解くと、
ｘ＝ｒcosθ、ｙ＝ｒsinθ
二重積分は、極座標を使って、
∫∫ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∫∫ｆ（ｒ，θ）ｒｄｒｄθ
と変形できる。

tanθ＝y/x　より、arctan(y/x)＝θ
ｆ（ｘ，ｙ）＝arctan(y/x)だから、ｆ（ｒ，θ）＝θ
Ｄ＝｛x＾2+y＾2≦a＾2 , x≧0 , y≧0｝より、
Ｄ＝｛ｒ^2≦a＾2 ,０≦θ≦π/2　｝
　＝｛０≦ｒ≦ａ，０≦θ≦π/2　｝

したがって、
∬D tan‐1(y/x)dxdy＝∬D θｒｄｒｄθ

　　π/2　　　ａ
＝∫　　ｄθ∫　ｒθｄｒ
　　０　　　　０

　　π/2　　　　　　　　　ａ
＝∫　　ｄθ［（ｒ^2/2）θ］
　　０　　　　　　　　　　０

　　π/2
＝∫　｛（ａ^2/2）θ｝ｄθ
　　０

　　　　　　　　　　　　π/2
＝（ａ^2/2）［（θ^2/2）］
　　　　　　　　　　　　０

＝（ａ^2/2）｛（π/2）^2/2　｝

　ａ^2　π^2　（πａ）^2
＝――・――＝―――――　……（答）
　２　　８　　　１６